Matika krokem - 5.lekce ...

Komplexní čísla
5.lekce - Řešení rovnic v oboru komplexních čísel
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty

Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty a,b,c nemá v oboru reálných čísel pro záporný diskriminant (D<0) reálné řešení (neexistuje reálná odmocnina ze záporného čísla). V oboru komplexních čísel lze ale dokázat, že platí:

Odmocnina z čísla -D (kladné) již existuje a dostáváme závěr:

Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 s reálnými koeficienty a záporným diskriminantem D má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny, a to sdružená imaginární čísla:
,
(17)


Příklad 1: V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x2 - 4x + 2 = 0.
= D = 16 - 24 = -8


Příklad 2: V oboru komplex.čísel řešte rovnici   (p - 1)x2 - (p - 2)x + 2p - 1 = 0    s neznámou x a s real.parametrem p.
=


Množinu kořenů K rovnice v závislosti na parametru p shrnuje tabulka:

p K
(-,0)
0 x1,2 = 1
(0,1)
1 x = -1
(1,8/7)
8/7 x1,2 = -3
(8/7,+)


Protože je každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel řešitelná (existují její kořeny), lze i každý kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty rozložit v součin a platí:

Každý kvadratický trojčlen ax2 + bx + c s reálnými koeficienty lze vyjádřit jako součin:
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) ,
kde x1, x2 jsou kořeny rovnice ax2 + bx + c = 0.
(18)


Příklad 3: Rozložte v součin lineárních činitelů kvadratický trojčlen x2 - 6x + 13.
= Nejprve určíme kořeny odpovídající rovnice x2 - 6x + 13 = 0.
D = 36 - 52 = -16

A nyní můžeme rozložit:
x2 - 6x + 13 = (x - 3 + 2i)(x - 3 -2i)



Binomické rovnice

Binomická rovnice je rovnice tvaru    xn - a = 0
kde a je komplexní číslo , x neznámá a n je přirozené číslo větší než 1.
(19)

Obě čísla převedeme do goniometrického tvaru, použijeme Moivreovy věty a dostáváme:
|x|n(cosnf+isinnf) = |a|(cosa+isina)
Číslo x je tedy komplexní n-tou odmocninou čísla a (kořenem binomické rovnice) a platí:

Binomická rovnice xn - |a|(cosa+isina) = 0
má v oboru komplexních čísel právě n různých kořenů:
, k = 0, 1, 2, ..., n-1
(20)


Tyto kořeny leží (pro n>2) v Gaussově rovině ve vrcholech pravidelného n-úhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a s poloměrem . Argumenty kořenů se liší o (každý další dostaneme přičtením )

Při odmocňování tedy absolutní hodnotu odmocníme a argument dělíme odmocnitelem. Odmocnin je n a každou další dostaneme přičtením k argumentu.

Příklad 4: V množině komplexních čísel řešte rovnici x4 + 1 + i = 0 .
= Upravíme:
x4 = -1 - i
číslo -1 - i převedeme do goniometrického tvaru:

Nyní určíme čtvrtou odmocninu z tohoto čísla. Obecně vypadá pro k = 0,1,2,3:

a po rozepsání pro jednotlivá k (přičítáme k argumentům ) , máme čtyři kořeny (odmocniny):
,
,
,
.
Obrazy těchto čísel v Gaussově rovině leží ve vrcholech (n=4) čtverce podle obrázku:




Kořeny zvláštního případu binomické rovnice xn - 1 = 0 jsou komplexní jednotky a jejich obrazy leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do jednotkové kružnice se středem v počátku. Jeden z vrcholů leží v bodě 1 na reálné ose.


Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

Kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty    ax2 + bx + c = 0 ,   řešíme podle známého vzorce      , kde a,b,c,D jsou ale komplexní čísla. Proto bývá největším problémem výpočet druhé odmocniny diskriminantu. Nejčastěji se diskriminant převede do goniometrického tvaru a potom odmocní jak bylo uvedeno při výpočtu odmocniny (u binomické rovnice). (21)


Komplexní čísla, která jsou kořeny rovnice, nemusí být sdružená. Sdružená jsou v případě reálných koeficientů a záporného diskriminantu.

Příklad 5: V množině komplexních čísel řešte rovnici (1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i = 0 .
= Diskriminant rovnice je
D = (5-i)2 - 4(1-i)(6-4i) = 16 + 30i = 34(cos61,927513..o +isin61,927513..o) .
(cos30,963757..o + isin30,963757..o) = 5 + 3i.
Kořeny tedy jsou

a po odstranění závorek a vydělení komplexních čísel dostaneme výsledné kořeny:
x1 = 2 + 3i    a    x2 = 1 - i



Druhou odmocninu z komplexního čísla můžeme také počítat bez převodu do goniometrického tavru. Jako výsledek odmocniny položíme x + iy (je to zase komplexní číslo), umocníme obě strany rovnice na druhou, porovnáním částí kompl.čísel získáme soustavu rovnic, ze které získáme hledané kompl.číslo.
(22)


Příklad 6: Vypočítejte druhou odmocninu komplexního čísla    16 + 30i
= Výsledkem musí být komplexní číslo, položime tedy:
Umocníme obě strany rovnice na druhou:
x2 + 2ixy - y2 = 16 + 30i
Porovnáním reálných částí a imaginárních částí dostáváme soustavu rovnic:
x2 - y2 = 16    a současně    2xy = 30
Substituční metodou po vyjádření y = 15/x dostáváme rovnici:
x4 - 16 x2 - 225 = 0
Ta dává reálné řešení x=5 nebo x=-5 a po dosazení y = 3 nebo y = -3.
Výsledkem jsou tedy dvě čísla:   5 + 3i , -5 - 3i



Stejně jako pro kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty platí i zde:

Každý kvadratický trojčlen ax2 + bx + c s komplexními koeficienty lze vyjádřit jako součin:
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) ,
kde x1, x2 jsou kořeny rovnice ax2 + bx + c = 0.
(23)


Příklad 7: Rozložte kvadratický trojčlen (1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i .
= V předchozím příkladě jsme určili kořeny odpovídající rovnice a proto můžeme tedy ihned psát:
(1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i = (1-i)(x-2-3i)(x-1+i)


A to již konec kurzu Komplexní čísla.


Přehled použité a doporučené literatury:
PhDr.Ivan Bušek - Řešené maturitní úlohy z matematiky, SPN 1988
Petr Benda a kol. - Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN 1983
Doc.RNDr.Emil Calda, Csc. - Matematika pro gymnázia - Komplexní čísla, Prometheus 1997
František Vejsada, František Talafous - Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia, SPN 1969


B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    V množině komplexních čísel řešte rovnici:       


Příklad 2:    V množině komplexních čísel řešte binomickou rovnici:    x5 + 1 - i = 0       


Příklad 3:    V množině komplexních čísel řešte rovnici:    x2 + 2x - 3ix - 5 - 5i = 0       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - 8 = 0CHelp Výsledek
2Vypočtěte a znázorněte druhé odmocniny kompl.čísel:   z = -6 - 8iBHelp Výsledek
3V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + 8 = 0CHelp Výsledek
4Vypočtěte a znázorněte druhé odmocniny kompl.čísel:   z = 4i - 3BHelp Výsledek
5V množině C řešte rovnici:  (z4+1)2 + 2(z4+1) - 8 = 0 AHelp Výsledek
6V množině C řešte rovnici:  z6 - 7z3 - 8 = 0 BHelp Výsledek
7Zapište aspoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny v C jsou:  x1 = 1/2 - i , x2 = 1/2 + i CHelp Výsledek
8V množině C řešte rovnici:  z8 + z4 - 20 = 0 BHelp Výsledek
9V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
10V množině C řešte rovnici:  (z3 + i)(z3 + 8) = 0 BHelp Výsledek
11V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  px2 + 2(p - 1)x + p - 5 = 0 AHelp Výsledek
12V množině C řešte rovnici:  (z4 - 4)(z6 + i) = 0 BHelp Výsledek
13V množině C řešte rovnici:  z2 - 2(3 - i)z + 7 - 6i = 0AHelp Výsledek
14V množině C řešte rovnici:  z2 - 2(1 + i)z + 2i = 0BHelp Výsledek
15V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  x2 + 2px + 25 = 0 AHelp Výsledek
16V množině C řešte rovnici:  (z2 + 1)(z2 - 1)(z2 + i)(z2 - i) = 0 BHelp Výsledek
17V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  (p + 3)x2 + 3(p - 6)x + 5 - 18p = 0 AHelp Výsledek
18V množině C řešte rovnici:  (z6 + 64)(z6 - 16) = 0 BHelp Výsledek
19V množině C řešte rovnici:  4x2 + 3 = 0 CHelp Výsledek
20V množině C řešte rovnici:  z2 - 6iz - 8 = 0 BHelp Výsledek
21Zapište aspoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny v C jsou:  x1 = -1 - 2i , x2 = 1 - 2i CHelp Výsledek
22V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
23V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z8 + 1 = 0CHelp Výsledek
24V množině C řešte rovnici:  z2 - 4iz - 9 = 0 BHelp Výsledek
25V množině C řešte rovnici:  x2 - 3x + 3 = 0 CHelp Výsledek
26V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
27V množině C řešte rovnici:  2x2 + x + 1 = 0 CHelp Výsledek
28Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  3x2 + 2x + 2 BHelp Výsledek
29V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 - 2z + 4 = 0CHelp Výsledek
30V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  px2 + (2p - 1)x + p = 0 AHelp Výsledek
31V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 + 2z + 2 = 0CHelp Výsledek
32Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 + x + 1 BHelp Výsledek
33V množině C řešte rovnici:  3x2 - 7x + 5 = 0 CHelp Výsledek
34Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 - x + 1 BHelp Výsledek
35V množině C řešte rovnici:  (x2 + x + 1)(x2 + x - 1) = 0 CHelp Výsledek
36Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 - 3x + 5 BHelp Výsledek
37V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - i = 0CHelp Výsledek
38V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z5 - 1 - i = 0BHelp Výsledek
39V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + i = 0CHelp Výsledek
40V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z5 + 1 - i = 0BHelp Výsledek
41V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z6 + 64 = 0CHelp Výsledek
42V množině C řešte rovnici:   z2 - 4 = 3iAHelp Výsledek
43V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - 1 + i = 0BHelp Výsledek
44V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z6 - 64 = 0CHelp Výsledek
45V množině C řešte rovnici:   z2 + (2-3i)z - 5(1+i) = 0AHelp Výsledek
46V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + 1 - i = 0BHelp Výsledek
47V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z4 - 1 = 0CHelp Výsledek
48V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 - 2z + 2 = 0AHelp Výsledek
49V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z4 + 1 = 0CHelp Výsledek
50V množině C řešte rovnici:   z2 - 2z + 9 + 6i = 0AHelp Výsledek
51V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 + 1 = 0BHelp Výsledek
52V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z8 - 1 = 0CHelp Výsledek
53V množině C řešte rovnici:   z2 + 3z + 10i = 0AHelp Výsledek
54V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
55V množině C řešte soustavu rovnic:  2x - y = 1 + 3i , xy = 2AHelp Výsledek
56V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
57Určete komplexní číslo p tak, aby rovnice: x2 - 2(3+i)x + p = 0 měla jediný kořen.CHelp Výsledek
58V množině C řešte soustavu rovnic:  x2 + y2 = 1 , x - y = -2AHelp Výsledek
59V množině C řešte rovnici:   x6 - 19x3 - 216 = 0BHelp Výsledek
60V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
61V množině C řešte rovnici:   x6 + 19x3 - 216 = 0BHelp Výsledek
62V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
63V množině C řešte rovnici:   x4 - 2 + 2i = 0BHelp Výsledek
64V množině C řešte rovnici:   ix2 + 3(3-2i)x - 6 = 0AHelp Výsledek
65V množině C řešte rovnici:   x6 + 3 = 0BHelp Výsledek
66V množině C řešte rovnici:   ix2 + 2(i-1)x + 3 + 2i = 0AHelp Výsledek
67V množině C řešte rovnici:   x4 + 2 + 2i = 0BHelp Výsledek
68V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
69V množině C řešte rovnici s reálným parametem p:  x2 - 2(p + 4)x + p2 + 6p = 0BHelp Výsledek
70V množině C řešte rovnici:  (x + 1)4 = 81x4AHelp Výsledek
71V množině C řešte rovnici s reálným parametem p:  px2 + 2(p - 1)x + p - 5 = 0BHelp Výsledek
72V množině C řešte rovnici:  (x3 - 1)2 + (x3 + 1)2 = 0AHelp Výsledek
73V množině C řešte rovnici:  (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x + 6)(x2 + 3x + 7) = 0BHelp Výsledek
74V množině C řešte rovnici:  (x4 + 1)2 + 2(x4 + 1) - 8 = 0AHelp Výsledek
75V množině C řešte rovnici:  (x2 + 4)(x2 -i) = 0BHelp Výsledek
76V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
77V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
78V množině C řešte rovnici:  16x4 = (x - 1)4AHelp Výsledek
79V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
80V množině C řešte rovnici:  x2 + 18 - 6i = 0AHelp Výsledek
81Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 - 2x + 1BHelp Výsledek
82V množině C řešte rovnici:  x2 - 4 - i = 0AHelp Výsledek
83Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 + 4x + 13BHelp Výsledek
84V množině C řešte rovnici:  x2 + 6 + 8i = 0AHelp Výsledek
85Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 - (-2 + i)x - 2iAHelp Výsledek
86V množině C řešte soustavu rovnic:  x + y = -i , x2 + y2 = 1BHelp Výsledek
87Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 + 5 + 12iAHelp Výsledek
88V množině C řešte rovnici:  x4 - 4x3+ 6x2 - 4x = 80AHelp Výsledek
89V množině C řešte soustavu rovnic:  x + y = -i , x2 + y2 = -1BHelp Výsledek
90V množině C řešte rovnici:  x3 + 3x2 + 3x = 7AHelp Výsledek
91V množině C řešte rovnici:  x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 = 0 , víte-li, že má kořen x=iAHelp Výsledek
92V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - 8 = 0CHelp Výsledek
93Vypočtěte a znázorněte druhé odmocniny kompl.čísel:   z = -6 - 8iBHelp Výsledek
94V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + 8 = 0CHelp Výsledek
95Vypočtěte a znázorněte druhé odmocniny kompl.čísel:   z = 4i - 3BHelp Výsledek
96V množině C řešte rovnici:  (z4+1)2 + 2(z4+1) - 8 = 0 AHelp Výsledek
97V množině C řešte rovnici:  z6 - 7z3 - 8 = 0 BHelp Výsledek
98Zapište aspoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny v C jsou:  x1 = 1/2 - i , x2 = 1/2 + i CHelp Výsledek
99V množině C řešte rovnici:  z8 + z4 - 20 = 0 BHelp Výsledek
100V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
101V množině C řešte rovnici:  (z3 + i)(z3 + 8) = 0 BHelp Výsledek
102V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  px2 + 2(p - 1)x + p - 5 = 0 AHelp Výsledek
103V množině C řešte rovnici:  (z4 - 4)(z6 + i) = 0 BHelp Výsledek
104V množině C řešte rovnici:  z2 - 2(3 - i)z + 7 - 6i = 0AHelp Výsledek
105V množině C řešte rovnici:  z2 - 2(1 + i)z + 2i = 0BHelp Výsledek
106V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  x2 + 2px + 25 = 0 AHelp Výsledek
107V množině C řešte rovnici:  (z2 + 1)(z2 - 1)(z2 + i)(z2 - i) = 0 BHelp Výsledek
108V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  (p + 3)x2 + 3(p - 6)x + 5 - 18p = 0 AHelp Výsledek
109V množině C řešte rovnici:  (z6 + 64)(z6 - 16) = 0 BHelp Výsledek
110V množině C řešte rovnici:  4x2 + 3 = 0 CHelp Výsledek
111V množině C řešte rovnici:  z2 - 6iz - 8 = 0 BHelp Výsledek
112Zapište aspoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny v C jsou:  x1 = -1 - 2i , x2 = 1 - 2i CHelp Výsledek
113V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
114V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z8 + 1 = 0CHelp Výsledek
115V množině C řešte rovnici:  z2 - 4iz - 9 = 0 BHelp Výsledek
116V množině C řešte rovnici:  x2 - 3x + 3 = 0 CHelp Výsledek
117V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
118V množině C řešte rovnici:  2x2 + x + 1 = 0 CHelp Výsledek
119Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  3x2 + 2x + 2 BHelp Výsledek
120V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 - 2z + 4 = 0CHelp Výsledek
121V množině C řešte rovnici s reálným parametrem p:  px2 + (2p - 1)x + p = 0 AHelp Výsledek
122V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 + 2z + 2 = 0CHelp Výsledek
123Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 + x + 1 BHelp Výsledek
124V množině C řešte rovnici:  3x2 - 7x + 5 = 0 CHelp Výsledek
125Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 - x + 1 BHelp Výsledek
126V množině C řešte rovnici:  (x2 + x + 1)(x2 + x - 1) = 0 CHelp Výsledek
127Rozložte v součiny lineárních dvojčlenů trojčleny:  x2 - 3x + 5 BHelp Výsledek
128V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - i = 0CHelp Výsledek
129V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z5 - 1 - i = 0BHelp Výsledek
130V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + i = 0CHelp Výsledek
131V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z5 + 1 - i = 0BHelp Výsledek
132V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z6 + 64 = 0CHelp Výsledek
133V množině C řešte rovnici:   z2 - 4 = 3iAHelp Výsledek
134V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 - 1 + i = 0BHelp Výsledek
135V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z6 - 64 = 0CHelp Výsledek
136V množině C řešte rovnici:   z2 + (2-3i)z - 5(1+i) = 0AHelp Výsledek
137V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z3 + 1 - i = 0BHelp Výsledek
138V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z4 - 1 = 0CHelp Výsledek
139V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 - 2z + 2 = 0AHelp Výsledek
140V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z4 + 1 = 0CHelp Výsledek
141V množině C řešte rovnici:   z2 - 2z + 9 + 6i = 0AHelp Výsledek
142V množině C řešte jako rovnici kvadratickou i jako binomickou:   z2 + 1 = 0BHelp Výsledek
143V množině C řešte rovnici a kořeny znázorněte geometricky:   z8 - 1 = 0CHelp Výsledek
144V množině C řešte rovnici:   z2 + 3z + 10i = 0AHelp Výsledek
145V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
146V množině C řešte soustavu rovnic:  2x - y = 1 + 3i , xy = 2AHelp Výsledek
147V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
148Určete komplexní číslo p tak, aby rovnice: x2 - 2(3+i)x + p = 0 měla jediný kořen.CHelp Výsledek
149V množině C řešte soustavu rovnic:  x2 + y2 = 1 , x - y = -2AHelp Výsledek
150V množině C řešte rovnici:   x6 - 19x3 - 216 = 0BHelp Výsledek
151V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
152V množině C řešte rovnici:   x6 + 19x3 - 216 = 0BHelp Výsledek
153V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
154V množině C řešte rovnici:   x4 - 2 + 2i = 0BHelp Výsledek
155V množině C řešte rovnici:   ix2 + 3(3-2i)x - 6 = 0AHelp Výsledek
156V množině C řešte rovnici:   x6 + 3 = 0BHelp Výsledek
157V množině C řešte rovnici:   ix2 + 2(i-1)x + 3 + 2i = 0AHelp Výsledek
158V množině C řešte rovnici:   x4 + 2 + 2i = 0BHelp Výsledek
159V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
160V množině C řešte rovnici s reálným parametem p:  x2 - 2(p + 4)x + p2 + 6p = 0BHelp Výsledek
161V množině C řešte rovnici:  (x + 1)4 = 81x4AHelp Výsledek
162V množině C řešte rovnici s reálným parametem p:  px2 + 2(p - 1)x + p - 5 = 0BHelp Výsledek
163V množině C řešte rovnici:  (x3 - 1)2 + (x3 + 1)2 = 0AHelp Výsledek
164V množině C řešte rovnici:  (x4 + 1)2 + 2(x4 + 1) - 8 = 0AHelp Výsledek
165V množině C řešte rovnici:  (x2 + 4)(x2 -i) = 0BHelp Výsledek
166V množině C řešte rovnici:  AHelp Výsledek
167V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
168V množině C řešte rovnici:  16x4 = (x - 1)4AHelp Výsledek
169V množině C řešte rovnici:  BHelp Výsledek
170V množině C řešte rovnici:  x2 + 18 - 6i = 0AHelp Výsledek
171Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 - 2x + 1BHelp Výsledek
172V množině C řešte rovnici:  x2 - 4 - i = 0AHelp Výsledek
173Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 + 4x + 13BHelp Výsledek
174V množině C řešte rovnici:  x2 + 6 + 8i = 0AHelp Výsledek
175Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 - (-2 + i)x - 2iAHelp Výsledek
176V množině C řešte soustavu rovnic:  x + y = -i , x2 + y2 = 1BHelp Výsledek
177Rozložte v C v součiny kvadratické trojčleny:  x2 + 5 + 12iAHelp Výsledek
178V množině C řešte rovnici:  x4 - 4x3+ 6x2 - 4x = 80AHelp Výsledek
179V množině C řešte soustavu rovnic:  x + y = -i , x2 + y2 = -1BHelp Výsledek
180V množině C řešte rovnici:  x3 + 3x2 + 3x = 7AHelp Výsledek
181V množině C řešte rovnici:  x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 = 0 , víte-li, že má kořen x=iAHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!