Matika krokem - 11.lekce ...

Limita, derivace a integrál
11.lekce - Integrace goniometrických a dalších funkcí
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Integrování goniometrických funkcí

Tak jako pro integraci iracionálních funkcí slouží universální Eulerovy substituce, existuje také pro integrál goniometrické funkce universální substituce, která jej převede na integrál racionální lomené funkce.

Integrály typu: R(sinx,cosx) lze substitucí: převést na integrály racionálních funkcí.

Odvodíme si několik obecných vztahů, které nám tuto substituci usnadní a urychlí.
Z plyne x/2 = arctgt a tedy dx = 2dt/(1+t2)
Dále vyjádříme cosx a sinx pomocí t, proto musíme cosx a sinx vyjádřit pomocí tgx/2 (a tím tedy t).
Nejprve si odvodíme pomocný vztah:

Nyní už můžeme vyjádřit cosx:

Podobně vyjádříme i sinx:
.
Můžeme tedy uzavřít, že při použití této substituce využíváme vztahů:



Ukažme si to na příkladě:


Příklad 90: Vypočtěte
= Zavedeme pomocnou neznámou , a dosadíme z odvozených vztahú za dx , cosx a dostáváme:

Po úpravách zlomků vznikne:

Tento integrál racionální funkce vede na arcustangens:

Po návratu k původní proměnné x získáme konečný výsledek:

Výsledek:


Pro tuto substituci platí táž poznámka, jako pro Eulerovy substituce - je sice universální, ale někdy vede k tak složitým výpočtům, že je výhodnější přemýšlet o jiné, jednodušší, speciální, výhodnější substituci. Ukážeme si tři nejčastější typy substitucí:

A Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k sinx, tedy R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci t = cosx
B Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k cosx, tedy R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci t = sinx
C Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) sudá k sinx i cosx, tedy R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), použijeme substituci t = tgx


Aplikaci těchto substitucí demonstrují následující příklady:

Příklad 91: Vypočtěte
= Funkce je lichá k sinx, protože R(-sinx,cosx)=-sinx/(1+cosx)=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=cosx (substituce typu A)
Platí dt=-sinx.dx a tedy dx=-dt/sinx
Po dosazení dostáváme:
=
Tento integrál vede na přirozený logaritmus:
=-ln|1+t|+C=
Po návratu k původní proměnné dostáváme výsledek:
=-ln|1+cosx|+C
Výsledek: =-ln|1+cosx|+C


Příklad 92: Vypočtěte
= Funkce je lichá k cosx, protože R(sinx,-cosx)=(-cosx)3/(2-sinx)=-cos3x/(2-sinx)=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=sinx (substituce typu B)
Platí dt=cosx.dx a tedy dx=dt/cosx
Po úpravě dostáváme:

Dosadíme a pokračujeme ve výpočtu takto:

Toto jsou již integrály elementárních funkcí:
=2t+t2/2+3ln|t-2|+C=
Vrátíme se k původní proměnné:
=2sinx+sin2x/2+3ln|sinx-2|+C
Výsledek: =2sinx+sin2x/2+3ln|sinx-2|+C


Příklad 93: Vypočtěte
= Funkce je sudá k sinx i cosx, protože R(-sinx,-cosx)=-sinx/[(-sinx)-(-cosx)]=sinx/(sinx-cosx)=R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=tgx (substituce typu C)
Platí dt=dx/cos2x a tedy dx=cos2x.dt
Z t=tgx dostáváme:

Integrál upravíme (krátíme cosx):

Po dosazení dostáváme:

Použijeme metodou rozkladu na parciální zlomly:

t=At2+A+Bt2-Bt+Ct-C
Vznikne soustava rovnic:
A+B=0 , C-B=1 , A-C=0
Řešením jsou koeficienty: A=1/2 , B=-1/2 , C=1/2 a můžeme pokračovat:

První dva integrály vedou na přirozený logaritmus a třetí na arkustangens:
=(1/2)ln|t-1|-(1/4)ln|t2+1|+(1/2)arctgt+C=
Po návratu k proměnné x:
=(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)arctg(tgx)+C=
=(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)x+C
Výsledek: =(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)x+C


Příklad 94: Vypočtěte
= Funkce je lichá k sinx, protože R(-sinx,cosx)=(-sinx)3cos2x=sin3x.cos2x=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=cosx (substituce typu A)
Platí dt=-sinx.dx a tedy dx=-dt/sinx
Po úpravě integrační funkce:

Dosadíme:

Po integraci a návratu k původní proměnné dostáváme konečný výsledek:
=t5/5-t3/3+C=(1/5)cos5x-(1/3)cos3x+C
Výsledek: =(1/5)cos5x-(1/3)cos3x+C


Binomické integrály

Integrály typu (m, n, p jsou racionální čísla) se nazývají binomické integrály.
Lze je racionalizovat vhodnou substitucí, je-li aspoň jedno z čísel p , (m+1)/n , (m+1)/n+p číslo celé.

Při výpočtu volíme substituci v závislosti na číslu p:

A p celé číslo => substituce t=x1/S (S je nejmenší společný násobek zlomků m a n)
B p není celé číslo => substituce t=xn převede na typ nebo , který řešíme další substitucí zs=a+bt nebo zs=(a+bt)/t


Příklady opět ukazují aplikaci těchto substitucí:

Příklad 95: Vypočtěte
= Upravíme na základní tvar (obsahující mocniny s racionálním exponentem):

Vidíme, že p=-3 je celé číslo a proto použijeme substituci typu A.
Nejmenší společný násobek S jmenovatelů zlomků m (1) a n (3) je 3 a položíme tedy t=x1/3.
Potom x=t3 a dx=3t2dt.
Po dosazení se integrovaná funkce racionalizuje:

Tento integrál řešíme rozkladem na parciální zlomky:

1=A(1+t)3+Bt(1+t2)+Ct(1+t)+Dt
1=A+3At+3At2+At3+Bt+2Bt2+Bt3+Ct+Ct2+Dt
Řešením soustavy:
A=1 , 3A+B+C+D=0 , 3A+2B+C=0 , A+B=0
získáme koeficienty A=1 , B=-1 , C=-1 , D=-1 a můžeme pokračovat:


Po úpravě:

Návratem k původní proměnné získáme konečný výsledek:

Výsledek: =


Příklad 96: Vypočtěte
= Upravíme na základní tvar (obsahující mocniny s racionálním exponentem):

Vidíme, že p=1/3 není celé číslo.
Číslo (m+1)/n=(-1/2+1)/(1/4)=2 je celé číslo a proto použijeme substituci typu B.
Nejprve položíme tedy t=x1/4.
Potom x=t4 a dx=4t3dt.
Po dosazení vznikne:

Tento integrál racionalizujeme další substitucí z3=1+t, tedy t=z3-1 a dt=3z2dz
Pokračujeme po dosazení:

Po integraci a návratu k púvodním proměnným dostáváme:
=12(z7/7-z4/4)+C=
Po dalších úpravách (částečné odmocnění, vytknutí, umocnění, sloučení) dostáváme konečný výsledek:

Výsledek:


Integrály exponenciálních funkcí

Integrály typu lze je racionalizovat substitucí t=ax

Příklad 97: Vypočtěte
= Položíme t=2x, potom x=lnt/ln2 a dx=dt/(t.ln2)
Po dosazení:

Rozkladem na parciální zlomky dostáváme:

1=A(1+t)
1=A+At+Bt
A=1 , A+B=0 => B=-1
Pokračujeme po dosazení:


Výsledek:





B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočtěte:       


Příklad 2:    Vypočtěte:       


Příklad 3:    Vypočtěte:       


Příklad 4:    Vypočtěte:       


Příklad 5:    Vypočtěte:       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte: CHelp Výsledek
2Vypočtěte: BHelp Výsledek
3Vypočtěte: BHelp Výsledek
4Vypočtěte: BHelp Výsledek
5Vypočtěte: CHelp Výsledek
6Vypočtěte: BHelp Výsledek
7Vypočtěte: BHelp Výsledek
8Vypočtěte: BHelp Výsledek
9Vypočtěte: BHelp Výsledek
10Vypočtěte: CHelp Výsledek
11Vypočtěte: BHelp Výsledek
12Vypočtěte: BHelp Výsledek
13Vypočtěte: BHelp Výsledek
14Vypočtěte: AHelp Výsledek
15Vypočtěte: BHelp Výsledek
16Vypočtěte: BHelp Výsledek
17Vypočtěte: BHelp Výsledek
18Vypočtěte: CHelp Výsledek
19Vypočtěte: BHelp Výsledek
20Vypočtěte: BHelp Výsledek
21Vypočtěte: BHelp Výsledek
22Vypočtěte: AHelp Výsledek
23Vypočtěte: BHelp Výsledek
24Vypočtěte: BHelp Výsledek
25Vypočtěte: BHelp Výsledek
26Vypočtěte: AHelp Výsledek
27Vypočtěte: BHelp Výsledek
28Vypočtěte: BHelp Výsledek
29Vypočtěte: BHelp Výsledek
30Vypočtěte: AHelp Výsledek
31Vypočtěte: BHelp Výsledek
32Vypočtěte: BHelp Výsledek
33Vypočtěte: BHelp Výsledek
34Vypočtěte: BHelp Výsledek
35Vypočtěte: AHelp Výsledek
36Vypočtěte: BHelp Výsledek
37Vypočtěte: BHelp Výsledek
38Vypočtěte: BHelp Výsledek
39Vypočtěte: AHelp Výsledek
40Vypočtěte: CHelp Výsledek
41Vypočtěte: BHelp Výsledek
42Vypočtěte: BHelp Výsledek
43Vypočtěte: BHelp Výsledek
44Vypočtěte: CHelp Výsledek
45Vypočtěte: BHelp Výsledek
46Vypočtěte: BHelp Výsledek
47Vypočtěte: BHelp Výsledek
48Vypočtěte: BHelp Výsledek
49Vypočtěte: CHelp Výsledek
50Vypočtěte: BHelp Výsledek
51Vypočtěte: BHelp Výsledek
52Vypočtěte: BHelp Výsledek
53Vypočtěte: AHelp Výsledek
54Vypočtěte: BHelp Výsledek
55Vypočtěte: BHelp Výsledek
56Vypočtěte: BHelp Výsledek
57Vypočtěte: CHelp Výsledek
58Vypočtěte: BHelp Výsledek
59Vypočtěte: BHelp Výsledek
60Vypočtěte: BHelp Výsledek
61Vypočtěte: AHelp Výsledek
62Vypočtěte: BHelp Výsledek
63Vypočtěte: BHelp Výsledek
64Vypočtěte: BHelp Výsledek
65Vypočtěte: AHelp Výsledek
66Vypočtěte: BHelp Výsledek
67Vypočtěte: BHelp Výsledek
68Vypočtěte: BHelp Výsledek
69Vypočtěte: AHelp Výsledek
70Vypočtěte: BHelp Výsledek
71Vypočtěte: BHelp Výsledek
72Vypočtěte: BHelp Výsledek
73Vypočtěte: BHelp Výsledek
74Vypočtěte: AHelp Výsledek
75Vypočtěte: BHelp Výsledek
76Vypočtěte: BHelp Výsledek
77Vypočtěte: BHelp Výsledek
78Vypočtěte: AHelp Výsledek
79Vypočtěte: CHelp Výsledek
80Vypočtěte: BHelp Výsledek
81Vypočtěte: BHelp Výsledek
82Vypočtěte: BHelp Výsledek
83Vypočtěte: CHelp Výsledek
84Vypočtěte: BHelp Výsledek
85Vypočtěte: BHelp Výsledek
86Vypočtěte: BHelp Výsledek
87Vypočtěte: BHelp Výsledek
88Vypočtěte: CHelp Výsledek
89Vypočtěte: BHelp Výsledek
90Vypočtěte: BHelp Výsledek
91Vypočtěte: BHelp Výsledek
92Vypočtěte: AHelp Výsledek
93Vypočtěte: BHelp Výsledek
94Vypočtěte: BHelp Výsledek
95Vypočtěte: BHelp Výsledek
96Vypočtěte: CHelp Výsledek
97Vypočtěte: BHelp Výsledek
98Vypočtěte: BHelp Výsledek
99Vypočtěte: BHelp Výsledek
100Vypočtěte: AHelp Výsledek
101Vypočtěte: BHelp Výsledek
102Vypočtěte: BHelp Výsledek
103Vypočtěte: BHelp Výsledek
104Vypočtěte: AHelp Výsledek
105Vypočtěte: BHelp Výsledek
106Vypočtěte: BHelp Výsledek
107Vypočtěte: BHelp Výsledek
108Vypočtěte: AHelp Výsledek
109Vypočtěte: BHelp Výsledek
110Vypočtěte: BHelp Výsledek
111Vypočtěte: BHelp Výsledek
112Vypočtěte: BHelp Výsledek
113Vypočtěte: AHelp Výsledek
114Vypočtěte: BHelp Výsledek
115Vypočtěte: BHelp Výsledek
116Vypočtěte: BHelp Výsledek
117Vypočtěte: AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!