A. Výklad a ukázkové příklady
Integrování goniometrických funkcí
Tak jako pro integraci iracionálních funkcí slouží universální Eulerovy substituce, existuje také pro integrál goniometrické
funkce universální substituce, která jej převede na integrál racionální lomené funkce.
Integrály typu: R(sinx,cosx)
lze substitucí: 
převést na integrály racionálních funkcí.
|
Odvodíme si několik obecných vztahů, které nám tuto substituci usnadní a urychlí.
Z plyne x/2 = arctgt a tedy dx = 2dt/(1+t2)
Dále vyjádříme cosx a sinx pomocí t, proto musíme cosx a sinx vyjádřit pomocí tgx/2 (a tím tedy t).
Nejprve si odvodíme pomocný vztah:
Nyní už můžeme vyjádřit cosx:
Podobně vyjádříme i sinx:
 .
Můžeme tedy uzavřít, že při použití této substituce využíváme vztahů:
Ukažme si to na příkladě:
Příklad 90:
Vypočtěte 
| = |
Zavedeme pomocnou neznámou ,
a dosadíme z odvozených vztahú za dx , cosx a dostáváme:
Po úpravách zlomků vznikne:
Tento integrál racionální funkce vede na arcustangens:
Po návratu k původní proměnné x získáme konečný výsledek:
Výsledek:
|
Pro tuto substituci platí táž poznámka, jako pro Eulerovy substituce - je sice universální, ale někdy vede k tak složitým výpočtům, že je výhodnější
přemýšlet o jiné, jednodušší, speciální, výhodnější substituci. Ukážeme si tři nejčastější typy substitucí:
|
A |
Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k sinx, tedy R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci t = cosx
|
|
B |
Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) lichá vzhledme k cosx, tedy R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx), použijeme substituci t = sinx
|
|
C |
Je-li integrovaná funkce R(sinx, cosx) sudá k sinx i cosx, tedy R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), použijeme substituci t = tgx
|
Aplikaci těchto substitucí demonstrují následující příklady:
Příklad 91:
Vypočtěte 
| = |
Funkce je lichá k sinx, protože R(-sinx,cosx)=-sinx/(1+cosx)=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=cosx (substituce typu A)
Platí dt=-sinx.dx a tedy dx=-dt/sinx
Po dosazení dostáváme:
 =
Tento integrál vede na přirozený logaritmus:
=-ln|1+t|+C=
Po návratu k původní proměnné dostáváme výsledek:
=-ln|1+cosx|+C
Výsledek: =-ln|1+cosx|+C
|
Příklad 92:
Vypočtěte 
| = |
Funkce je lichá k cosx, protože R(sinx,-cosx)=(-cosx)3/(2-sinx)=-cos3x/(2-sinx)=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=sinx (substituce typu B)
Platí dt=cosx.dx a tedy dx=dt/cosx
Po úpravě dostáváme:
Dosadíme a pokračujeme ve výpočtu takto:
Toto jsou již integrály elementárních funkcí:
=2t+t2/2+3ln|t-2|+C=
Vrátíme se k původní proměnné:
=2sinx+sin2x/2+3ln|sinx-2|+C
Výsledek: =2sinx+sin2x/2+3ln|sinx-2|+C
|
Příklad 93:
Vypočtěte 
| = |
Funkce je sudá k sinx i cosx, protože R(-sinx,-cosx)=-sinx/[(-sinx)-(-cosx)]=sinx/(sinx-cosx)=R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=tgx (substituce typu C)
Platí dt=dx/cos2x a tedy dx=cos2x.dt
Z t=tgx dostáváme:
Integrál upravíme (krátíme cosx):
Po dosazení dostáváme:
Použijeme metodou rozkladu na parciální zlomly:
t=At2+A+Bt2-Bt+Ct-C
Vznikne soustava rovnic:
A+B=0 , C-B=1 , A-C=0
Řešením jsou koeficienty: A=1/2 , B=-1/2 , C=1/2 a můžeme pokračovat:
První dva integrály vedou na přirozený logaritmus a třetí na arkustangens:
=(1/2)ln|t-1|-(1/4)ln|t2+1|+(1/2)arctgt+C=
Po návratu k proměnné x:
=(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)arctg(tgx)+C=
=(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)x+C
Výsledek: =(1/2)ln|tgx-1|-(1/4)ln|tg2x+1|+(1/2)x+C
|
Příklad 94:
Vypočtěte 
| = |
Funkce je lichá k sinx, protože R(-sinx,cosx)=(-sinx)3cos2x=sin3x.cos2x=-R(sinx,cosx).
Položíme tedy t=cosx (substituce typu A)
Platí dt=-sinx.dx a tedy dx=-dt/sinx
Po úpravě integrační funkce:
Dosadíme:
Po integraci a návratu k původní proměnné dostáváme konečný výsledek:
=t5/5-t3/3+C=(1/5)cos5x-(1/3)cos3x+C
Výsledek: =(1/5)cos5x-(1/3)cos3x+C
|
Binomické integrály
Integrály typu  (m, n, p jsou racionální čísla) se nazývají binomické integrály.
Lze je racionalizovat vhodnou substitucí, je-li aspoň jedno z čísel p , (m+1)/n , (m+1)/n+p číslo celé.
|
Při výpočtu volíme substituci v závislosti na číslu p:
|
A |
p celé číslo => substituce t=x1/S (S je nejmenší společný násobek zlomků m a n)
|
|
B |
p není celé číslo => substituce t=xn převede na typ 
nebo  , který řešíme další substitucí zs=a+bt nebo zs=(a+bt)/t
|
Příklady opět ukazují aplikaci těchto substitucí:
Příklad 95:
Vypočtěte 
| = |
Upravíme na základní tvar (obsahující mocniny s racionálním exponentem):
Vidíme, že p=-3 je celé číslo a proto použijeme substituci typu A.
Nejmenší společný násobek S jmenovatelů zlomků m (1) a n (3) je 3 a položíme tedy t=x1/3.
Potom x=t3 a dx=3t2dt.
Po dosazení se integrovaná funkce racionalizuje:
Tento integrál řešíme rozkladem na parciální zlomky:
1=A(1+t)3+Bt(1+t2)+Ct(1+t)+Dt
1=A+3At+3At2+At3+Bt+2Bt2+Bt3+Ct+Ct2+Dt
Řešením soustavy:
A=1 , 3A+B+C+D=0 , 3A+2B+C=0 , A+B=0
získáme koeficienty A=1 , B=-1 , C=-1 , D=-1 a můžeme pokračovat:
Po úpravě:
Návratem k původní proměnné získáme konečný výsledek:
Výsledek: =
|
Příklad 96:
Vypočtěte 
| = |
Upravíme na základní tvar (obsahující mocniny s racionálním exponentem):
Vidíme, že p=1/3 není celé číslo.
Číslo (m+1)/n=(-1/2+1)/(1/4)=2 je celé číslo a proto použijeme substituci typu B.
Nejprve položíme tedy t=x1/4.
Potom x=t4 a dx=4t3dt.
Po dosazení vznikne:
Tento integrál racionalizujeme další substitucí z3=1+t, tedy t=z3-1 a dt=3z2dz
Pokračujeme po dosazení:
Po integraci a návratu k púvodním proměnným dostáváme:
=12(z7/7-z4/4)+C=
Po dalších úpravách (částečné odmocnění, vytknutí, umocnění, sloučení) dostáváme konečný výsledek:
Výsledek:
|
Integrály exponenciálních funkcí
Integrály typu  lze je racionalizovat substitucí
t=ax
|
Příklad 97:
Vypočtěte 
| = |
Položíme t=2x, potom x=lnt/ln2 a dx=dt/(t.ln2)
Po dosazení:
Rozkladem na parciální zlomky dostáváme:
1=A(1+t)
1=A+At+Bt
A=1 , A+B=0 => B=-1
Pokračujeme po dosazení:
Výsledek:
|
B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele
C. Příklady na procvičení učiva
Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
| Příklady označené | A mají největší obtížnost, | B střední a | C nejmenší. |
D. Kontrolní test
E.Náhodný test
F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)
Vytisknout certifikat
Hodnocení výsledků:
Komunikace s učitelem (tutorem):
Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!
|
