Matika krokem - 1.lekce ...

Limita, derivace a integrál
1.lekce - Limita funkce a základní metody jejího výpočtu
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Limita funkce

Při výkladu nových pojmů se budeme snažit dodržovat následující postup:
1. Na příkladě přiblížíme význam pojmu
2. Volně, intuitivně naformulujeme.
3. Matematicky upřesníme definici.

Začneme tedy příkladem.
Zkoumejme chování funkce v okolí bodu x = 2.
Funkce f není v bodě x=2 definována. Blíží-li se však proměnná x k číslu 2, blíží se hodnota y k číslu 4. To je zřejmé z grafu funkce i z následující tabulky:

x1,81,91,951,99.. 2
y3,83,93,953,99..4

Číslo 4 nazýváme limitou funkce f v bodě x=2. (latinsky limes znamená hranice) Zapisujeme:

Intuitivně limita představuje hodnotu, k níž se nějaká proměnná veličina neomezeně blíží.
Jestliže se při neomezeném přibližování x k a (v našem příkladě a=2) hodnota funkce y=f(x) neomezeně blíží k L (v našem příkladě L=4), pak říkáme, že funkce y=f(x) má v bodě a limitu L a matematicky zapisujeme:

Jak to ale vyjádřit přesněji, matematicky?
Skutečnost, že se cosi k nějaké hodnotě neomezeně blíží, můžeme také formulovat tak, že se k této hodnotě blíží libovolně blízko. Tedy lze vždy najít hodnoty proměnné x, pro které jsou odpovídající hodnoty funkce zvoleně blízko k limitě L, popřípadě ještě blíž. Jinak řečeno: K libovolně malé "blízkosti" hodnoty funkce k limitě L lze vždy najít hodnoty proměnné z "blízkosti" čísla a, pro které jsou odpovídající hodnoty funkce k L ještě bližší. "Blízkost" čísel budeme matematicky posuzovat pomocí absolutní hodnoty rozdílu čísel.

V našem příkladě zvolíme "blízkost" funkce   f   k limitě  4   například   0,01
tedy:   (*)
a chceme najít hodnoty x, pro které jsou odpovídající hodnoty funkce v "blízkosti" 0,01 k limitě 4, popř. ještě blíž. Jak je dostaneme?
Po úpravách vnitřku abs.hodnoty dostáváme:
   |x - 2|= 0,01   (**).
Tvrzení (*) a (**) jsou ekvivalentní, z jednoho plyne druhé a obráceně, proto tedy pro:
   |x - 2| < 0,01    bude i .
Tedy pro x z "blízkosti" k 2 menší než 0,01 bude hodnota funkce f z ještě menší blízkosti k 4 než 0,01.

Obecně označme libovolnou "blízkost" funkce k limitě L symbolem e a budeme ji posuzovat pomocí |f(x) - L| a "blízkost" proměnné x k bodu a označme d a budeme ji posuzovat pomocí |x - a|. Hodnota f(x) je k L v menší "blízkosti" než e zapíšeme matematicky |f(x) - L| < e nebo-li f(x) patří do intervalu (L - e,L + e). Podobně proměnná x je k a v menší "blízkosti" než d zapíšeme matematicky |x - a| < d nebo-li x patří do intervalu (a - d,a + d).
Nyní již můžeme konečně matematicky definovat pojem limity funkce:

Limita funkce f(x) v bodě a je číslo L, pro které platí:
ke každému kladnému číslu e existuje takové kladné číslo d,
že |f(x) - L| < e pro všechna x, pro která platí 0 < |x - a| < d.
Zapisujeme:
(1)


Výpočet limity funkce

Každá funkce má zřejmě v daném bodě nejvýše jednu limitu, ale jak se vypočítá? Nejsnáze je možno určit limitu funkcí spojitých.

Limita spojité funkce f(x) (je spojitá v bodě a) je rovna funkční hodnotě v bodě a. Tedy (2)

Příklad 1: Vypočtěte
= Podle (2) platí, že limita v bodě a = 2 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě:   
Výsledek:   

Jak ale poznáme, že je funkce spojitá?

Snadno to poznáme z grafu. Grafem spojité funkce je plynulá, nepřerušovaná křivka. Graf spojité funkce lze tedy nakreslit jedním tahem.
Funkce f je v bodě a nespojitá. Říkáme také, že bod a je bodem nespojitosti funkce f. Funkce g je v každém svém bodě spojitá (jedná se o kvadratickou funkci).
Ze znalostí vlastností a grafů elementárních funkcí vyplývají následující tvrzení:

Polynomické, racionální, mocninné, odmocninné () , exponenciální a goniometrické funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. (3)

V těchto případech tedy počítáme limitu jako funkční hodnotu:

Příklad 2: Vypočtěte .
= Jde o goniometrickou funkci v bodě def. oboru (3) a tedy podle (2) platí:
   = sin(p/6) = 0,5

Příklad 3: Vypočtěte
= Jedná se o racionální funkci v bodě def.oboru (3) tedy a podle (2) platí:
   = 1/2 = 0,5

V příkladech se ale často setkáváme s funkcemi, které v bodě a nejsou definovány, a tedy nemohou být v bodě a ani spojité.Potom můžeme využít následující věty o limitě dvou funkcí:

Jestliže pro funkce f(x) a g(x) platí f(x) = g(x) pro všechna x z definičního oboru (kromě  x = a) a má-li funkce g(x) v bodě a limitu L, pak má i funkce f(x) v bodě a stejnou limitu L.
Jinak řečeno, funkci v daném bodě a nedefinovanou nahradíme funkcí, která se jí rovná (kromě hodnoty v inkriminovaném bodě a) a její limitu v bodě a vypočteme (a to bude i limita původní funkce).
(4)

Příklad 4: Vypočtěte
= Máme-li vypočítat tuto limitu pak funkci , která není v bodě x = 2 definována, nahradíme funkcí g.
Tu získáme po úpravách: .
Obě funkce se sobě rovnají kromě jediného bodu x = 2 a proto mají podle (4) stejnou limitu. Obrázky nám také potvrzují, že u obou funkcí platí:  "Blíží-li se proměnná x k číslu 2, blíží se hodnota f(x) k číslu 4." a tedy limity obou funkcí jsou číslo 4.
Výsledek:



Věty o limitě dvou funkcí požíváme velmi často při výpočru limit racionálních funkcí.

Příklad 5: Vypočtěte
= Nyní už stručněji: funkce není v bodě x=3 definována a podle věty (4) o limitě dvou funkcí platí:
  


Některé limity nám umožní vypočítat věta o třech limitách:

Jestliže funkce f(x) a g(x) mají v bodě a tutéž limitu L tedy: a pro funkci h(x) platí:    (je "sevřena" těmito funkcemi) ,
pak také funkce h(x) má v bodě a tutéž limitu L:    
(5)

Příklad 6: Vypočtěte
= Z vlastností goniometrických funkcí a z obrázku lze v I.kvadrantu odvodit:
pro každé x>0 platí       x > sinx       a tedy
     
Obsah kruhové výseče STB    ()    je určitě menší než obsah trojúhelníka STA    ()   
Tedy             z toho dostáváme .
Získali jsme vztah mezi třemi funkcemi: .
Je zřejmé, že limita obou krajních funkcí v bodě x = 0 (spojité) je číslo 1:
     
Proto podle věty o třech limitách je i limita třetí funkce 1.
Výsledek:   


Tuto limitu je třeba si zapamatovat (pro další výpočty) jako základní goniometrickou limitu (třeba) Z1:

Z1:   (6)

Pro limity funkcí dále platí důležitá a zřejmá věta o limitě operací - součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí:

Jestliže a , potom platí:

(7)
(8)
(9)
(10)

Slovně: Limita součtu, rizdílu, součinu a podílu funkcí je rovna součtu, rozdílu, součinu a podílu (nenulový jmenovatel) limit jednotlivých funkcí.

Při výpočtu limit goniometrických funkcí se snažíme využít základní goniometrické limity Z1.

Příkla 7: Vypočtěte
= Použitím základní limity Z1 a věty o limitě operací dostáváme:


Příkla 8: Vypočtěte
= Použitím základní limity Z1 a věty o limitě operací dostáváme:


Obsahují-li funkce odmocniny, často pomůže jejich odstranění a výpočet limity je pak již snadný.

Příkla 9: Vypočtěte
= Usměrněním zlomků a použitím věty o limitě operací dostáváme:






B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočítejte:       


Příklad 2:    Vypočítejte:       


Příklad 3:    Vypočítejte:       


Příklad 4:    Vypočítejte:       


Příklad 5:    Vypočítejte:       


Příklad 6:    Vypočítejte:       


Příklad 7:    Vypočítejte:       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte:   CHelp Výsledek
2Vypočtěte:   BHelp Výsledek
3Vypočtěte:   BHelp Výsledek
4Vypočtěte:   CHelp Výsledek
5Vypočtěte:   BHelp Výsledek
6Vypočtěte:   BHelp Výsledek
7Vypočtěte:   CHelp Výsledek
8Vypočtěte:   BHelp Výsledek
9Vypočtěte:   CHelp Výsledek
10Vypočtěte:   BHelp Výsledek
11Vypočtěte:   AHelp Výsledek
12Vypočtěte:   BHelp Výsledek
13Vypočtěte:   AHelp Výsledek
14Vypočtěte:   BHelp Výsledek
15Vypočtěte:   AHelp Výsledek
16Vypočtěte:   BHelp Výsledek
17Vypočtěte:   AHelp Výsledek
18Vypočtěte:   BHelp Výsledek
19Vypočtěte:   AHelp Výsledek
20Vypočtěte:   BHelp Výsledek
21Vypočtěte:   BHelp Výsledek
22Vypočtěte:   BHelp Výsledek
23Vypočtěte:   BHelp Výsledek
24Vypočtěte:   BHelp Výsledek
25Vypočtěte:   AHelp Výsledek
26Vypočtěte:   BHelp Výsledek
27Vypočtěte:   BHelp Výsledek
28Vypočtěte:   AHelp Výsledek
29Vypočtěte:   BHelp Výsledek
30Vypočtěte:   BHelp Výsledek
31Vypočtěte:   AHelp Výsledek
32Vypočtěte:   BHelp Výsledek
33Vypočtěte:   BHelp Výsledek
34Vypočtěte:   AHelp Výsledek
35Vypočtěte:   BHelp Výsledek
36Vypočtěte:   BHelp Výsledek
37Vypočtěte:   AHelp Výsledek
38Vypočtěte:   BHelp Výsledek
39Vypočtěte:   BHelp Výsledek
40Vypočtěte:   AHelp Výsledek
41Vypočtěte:   BHelp Výsledek
42Vypočtěte:   BHelp Výsledek
43Vypočtěte:   AHelp Výsledek
44Vypočtěte:   BHelp Výsledek
45Vypočtěte:   BHelp Výsledek
46Vypočtěte:   AHelp Výsledek
47Vypočtěte:   BHelp Výsledek
48Vypočtěte:   BHelp Výsledek
49Vypočtěte:   AHelp Výsledek
50Vypočtěte:   BHelp Výsledek
51Vypočtěte:   BHelp Výsledek
52Vypočtěte:   CHelp Výsledek
53Vypočtěte:   BHelp Výsledek
54Vypočtěte:   BHelp Výsledek
55Vypočtěte:   AHelp Výsledek
56Vypočtěte:   BHelp Výsledek
57Vypočtěte:   BHelp Výsledek
58Vypočtěte:   AHelp Výsledek
59Vypočtěte:   BHelp Výsledek
60Vypočtěte:   BHelp Výsledek
61Vypočtěte:   AHelp Výsledek
62Vypočtěte:   BHelp Výsledek
63Vypočtěte:   BHelp Výsledek
64Vypočtěte:   AHelp Výsledek
65Vypočtěte:   BHelp Výsledek
66Vypočtěte:   BHelp Výsledek
67Vypočtěte:   BHelp Výsledek
68Vypočtěte:   AHelp Výsledek
69Vypočtěte:   BHelp Výsledek
70Vypočtěte:   BHelp Výsledek
71Vypočtěte:   AHelp Výsledek
72Vypočtěte:   BHelp Výsledek
73Vypočtěte:   BHelp Výsledek
74Vypočtěte:   AHelp Výsledek
75Vypočtěte:   BHelp Výsledek
76Vypočtěte:   BHelp Výsledek
77Vypočtěte:   AHelp Výsledek
78Vypočtěte:   BHelp Výsledek
79Vypočtěte:   BHelp Výsledek
80Vypočtěte:   AHelp Výsledek
81Vypočtěte:   CHelp Výsledek
82Vypočtěte:   BHelp Výsledek
83Vypočtěte:   BHelp Výsledek
84Vypočtěte:   CHelp Výsledek
85Vypočtěte:   BHelp Výsledek
86Vypočtěte:   BHelp Výsledek
87Vypočtěte:   CHelp Výsledek
88Vypočtěte:   BHelp Výsledek
89Vypočtěte:   CHelp Výsledek
90Vypočtěte:   BHelp Výsledek
91Vypočtěte:   AHelp Výsledek
92Vypočtěte:   BHelp Výsledek
93Vypočtěte:   AHelp Výsledek
94Vypočtěte:   BHelp Výsledek
95Vypočtěte:   AHelp Výsledek
96Vypočtěte:   BHelp Výsledek
97Vypočtěte:   AHelp Výsledek
98Vypočtěte:   BHelp Výsledek
99Vypočtěte:   AHelp Výsledek
100Vypočtěte:   BHelp Výsledek
101Vypočtěte:   BHelp Výsledek
102Vypočtěte:   BHelp Výsledek
103Vypočtěte:   BHelp Výsledek
104Vypočtěte:   BHelp Výsledek
105Vypočtěte:   AHelp Výsledek
106Vypočtěte:   BHelp Výsledek
107Vypočtěte:   BHelp Výsledek
108Vypočtěte:   AHelp Výsledek
109Vypočtěte:   BHelp Výsledek
110Vypočtěte:   BHelp Výsledek
111Vypočtěte:   AHelp Výsledek
112Vypočtěte:   BHelp Výsledek
113Vypočtěte:   BHelp Výsledek
114Vypočtěte:   AHelp Výsledek
115Vypočtěte:   BHelp Výsledek
116Vypočtěte:   BHelp Výsledek
117Vypočtěte:   AHelp Výsledek
118Vypočtěte:   BHelp Výsledek
119Vypočtěte:   BHelp Výsledek
120Vypočtěte:   AHelp Výsledek
121Vypočtěte:   BHelp Výsledek
122Vypočtěte:   BHelp Výsledek
123Vypočtěte:   AHelp Výsledek
124Vypočtěte:   BHelp Výsledek
125Vypočtěte:   BHelp Výsledek
126Vypočtěte:   AHelp Výsledek
127Vypočtěte:   BHelp Výsledek
128Vypočtěte:   BHelp Výsledek
129Vypočtěte:   AHelp Výsledek
130Vypočtěte:   BHelp Výsledek
131Vypočtěte:   BHelp Výsledek
132Vypočtěte:   CHelp Výsledek
133Vypočtěte:   BHelp Výsledek
134Vypočtěte:   BHelp Výsledek
135Vypočtěte:   AHelp Výsledek
136Vypočtěte:   BHelp Výsledek
137Vypočtěte:   BHelp Výsledek
138Vypočtěte:   AHelp Výsledek
139Vypočtěte:   BHelp Výsledek
140Vypočtěte:   BHelp Výsledek
141Vypočtěte:   AHelp Výsledek
142Vypočtěte:   BHelp Výsledek
143Vypočtěte:   BHelp Výsledek
144Vypočtěte:   AHelp Výsledek
145Vypočtěte:   BHelp Výsledek
146Vypočtěte:   BHelp Výsledek
147Vypočtěte:   BHelp Výsledek
148Vypočtěte:   AHelp Výsledek
149Vypočtěte:   BHelp Výsledek
150Vypočtěte:   BHelp Výsledek
151Vypočtěte:   AHelp Výsledek
152Vypočtěte:   BHelp Výsledek
153Vypočtěte:   BHelp Výsledek
154Vypočtěte:   AHelp Výsledek
155Vypočtěte:   BHelp Výsledek
156Vypočtěte:   BHelp Výsledek
157Vypočtěte:   AHelp Výsledek
158Vypočtěte:   BHelp Výsledek
159Vypočtěte:   BHelp Výsledek
160Vypočtěte:   AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!