Matika krokem - 3.lekce ...

Limita, derivace a integrál
3.lekce - Derivace funkce
 Vytisknout  
Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Derivace funkce

Limita funkce umožňuje najít tečnu a asymptotu grafu funkce, definovat derivaci a integrál. Patří k nejzákladnějším pojmům matematiky.

Ukažme si, jak pomůže nalézt rovnici tečny grafu funkce f: y = f(x) v bodě T[xo,yo].

Na vedlejším obrázku máme nakreslenu sečnu TX a tečnu t v bodě T. První souřadnice bodu X se liší od první souřadnice o přírůstek (změnu) Dx. Pokud bychom nechali bod X "přibližovat" k bodu T , tedy pro Dx -> 0 , sečna TX by se "přibližovala" k tečně t. Říkáme, že tečna t je limitní polohou sečny SX pro Dx -> 0 .
Směrnici sečny SX vypočteme ze vztahu pro směrnici přímky určené dvěma body:.
Směrnici tečny t tedy vypočteme podle předchozí úvahy jako limitu směrnice sečny pro Dx -> 0 :
.
Máme-li směrnici tečny, rovnice tečny v bodě T už není problém. Využijeme směrnicovou rovnici přímky dané bodem (T) a směrnicí (kt):
Můžeme tedy shrnout:

Je-li křivka grafem funkce y = f(x) a existuje-li v bodě x0 vlastní limita:

pak tečna křivky v bodě T[x0,y0] je přímka, která má rovnici:
y - y0 = kt(x - x0) 		(20)


Příklad 19: Napište rovnici tečny k parabole y = x2 v bodě T[1,1].
= Podle (20) zjistíme nejprve existenci požadované limity.


Směrnici máme a nyní už jen dosadíme do rovnice tečny:
y - 1 = 2(x - 1) a upravíme: 2x - y - 1 = 0
Výsledek:   Parabola má v bodě T tečnu o rovnici: 2x - y - 1 = 0


Pokud jste směrnici správně vypočítali, tak už vlastně umíte počítat derivaci funkce!
Tento typ limity (20) - limita podílu přírůstku funkce a přírůstku argumentu    - má svůj vlastní název - derivace funkce.

Říkáme, že funkce f má derivaci v bodě x0 (je diferencovatelná v bodě x0) , jestliže existuje
Tuto limitu označujeme f'(x0) a nazýváme derivací funkce f v bodě x0.
(21)


Geometrická interpretace derivace: Udává směrnici tečny kt ke grafu funkce f v bodě T[xo,yo].

Podobnou úvahou, jakou jsme provedli pro tečnu grafu, lze aplikovat i na pohyb hmotného bodu.
Těleso urazilo v čase to dráhu s(to).Zvětší-li se čas o Dt, bude dráha tělesa v tomto čase rovna s(to + Dt). Přírůstek dráhy odpovídající přírustku času Dt tedy bude s(to + Dt) - s(to).
Průměrná rychlost (při rovnoměrném pohybu) by pak byla v časovém intervalu <to,to + Dt> :
Čím bude menší Dt, tím bude získaná rychlost přesnější pro menší časový úsek. Pro Dt -> 0 dostáváme vlastně rychlost okamžitou:

Fyzikální interpretace derivace: Udává okamžitou rychlost pohybu v čase to.

Protože derivace je jen zvláštní případ limity funkce (ta má jednostranné a nevlastní limity) , lze také definovat derivaci funkce f v bodě xo zleva (změní se pouze pro Dt -> 0- ) a zprava (změní se pouze pro Dt -> 0+ ) i derivaci nevlastní (není konečné číslo).

Jaký je vztah mezi derivcí a spojitostí funkce?
Má-li funkce f v bodě xo derivaci, je v tomto bodě spojitá.
Obrácená věta ale neplatí. Funkce, která je v bodě xo spojitá, nemusí mít v bodě xo derivaci.


Výpočet derivace funkce

Derivace funkce f v bodě xo je tedy určité číslo, které má poznanou geometrickou a fyzikální interpretaci.
Jak toto číslo vypočítáme?

1. První způsob je vyjít z definice derivace:

Příklad 20: Vypočtěte derivaci funkce f: y = x3 v bodě xo.
= Podle (21) zjistíme existenci požadované limity.



Výsledek:    f'(xo) = 3xo2


Pokud má funkce f derivaci v každém bodě určitého intervalu (a,b) , pak říkáme, že funkce f má derivaci v intervalu (a,b).
Tím je tedy v intervalu (a,b) definována nová funkce f'(x), které říkáme derivace funkce f v intervalu. Kromě označení f'(x) používáme také y' nebo .

Příklad 21: Určete derivaci funkce f: y = x3 v intervalu (-,).
= Podle předchozího příkladu víme, že tato funkce má v každém bodě xo intervalu (-,) derivaci f'(xo) = 3.xo2.
Tedy f'(x) = 3.x2 pro x intervalu (-,)
Výsledek:    f'(x) = [x3]' = 3.x2 pro xR


Tímto způsobem si můžeme ukázat odvození derivace některých elementárních funkcí.

Příklad 22: Určete derivaci konstantní funkce f: y = c .
= Podle definice limity v každém bodě xo intervalu (-,) platí:
Výsledek:    [c]' = 0


Příklad 23: Určete derivaci funkce f: y = xn.
= Podle definice limity v každém bodě xo intervalu (-,) platí:


Výsledek:    [xn]' = n.xn-1


Příklad 24: Určete derivaci funkce f: y = sinx.
= Podle definice limity v každém bodě xo intervalu (-,) platí:


Výsledek:    [sinx]' = cosx


Podobně lze dokázat i platnost věty o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí:
Jestliže funkce u(x), v(x) mají v bodě xo derivaci, potom mají v tomto bodě derivaci i jejich součet, rozdíl, součin a podíl (v(xo) nenulové) a platí (c je konstanta):
[c.u]' = c.[u]'
(22)
[u + v]' = u' + v' (23)
[u - v]' = u' - v' (24)
[u . v]' = u'v + u.v' (25)
(26)


Obdobně už bez odvozování dokončíme přehled derivací elementárních funkcí:
[c]' = 0
[xn]' = n.xn-1 , n reálné číslo
[sinx]' = cosx
[cosx]' = -sinx
[ex]' = ex
[ax]' = ax.lna
[tgx]' =
[lnx]' =
[logax]' =
[cotgx]' =
(27)


První způsob výpočtu vyžaduje pouze znalost definice derivace, ale je poměrně pomalý a pracný.

2. Druhý způsob je založen na zapamatování a aplikaci přehledu derivací el.funkcí (27) a věty o derivování operací (22-26). Ukážeme si několik příkladů:

Příklad 25: Vypočtěte derivaci funkce f: y = v libovolném bodě def.oboru.
= Nejprve převedeme na mocninu:

a nyní použijeme pravidlo [xn]' = n.xn-1:

Výsledek:   


Příklad 26: Vypočtěte derivaci funkce f: y = x3 - 3x2 + 5x - 2 v libovolném bodě def.oboru.
= Nejprve použijeme pravidla (23) a (24) - u součtu a rozdílu derivujeme každý člen zvlášť:
[x3 - 3x2 + 5x - 2]' = [x3]' - [3x2]' + [5x]' - [2]'=
Dále použijeme (22) - v součinu konstantu při derivování opíšeme:
= [x3]' - 3.[x2]' + 5.[x]' - [2]'=
Nyní použijeme přehledu derivací el.funkcí. Nejprve derivace samotné konstanty je 0:
= [x3]' - 3.[x2]' + 5.[x]' - 0 =
Derivace [xn]' = n.xn-1:
= 3.x2 - 3.2.x1 + 5.1.x0 = 3x2 - 6x + 5
Výsledek:    [x3 - 3x2 + 5x - 2]' = 3x2 - 6x + 5


Derivace součinu funkcí:
Příklad 27: Vypočtěte derivaci funkce f: y = 3x2.sinx - 5 v libovolném bodě def.oboru.
= Nejprve použijeme pravidla (23) a (24) - u součtu a rozdílu derivujeme každý člen zvlášť:
[3x2.sinx - 5]' = [3x2.sinx]' - [5]' =
Dále použijeme (22) - v součinu konstantu při derivování opíšeme:
= 3.[x2.sinx]' - [5]' =
Nyní použijeme přehledu derivací el.funkcí. Nejprve derivace samotné konstanty je 0:
= 3.[x2.sinx]' - 0 =
A nyní derivujeme součin podle [u . v]' = u'v + u.v':
první člen derivujeme a druhý opíšeme + obráceně, první opíšeme a druhý derivujeme:
= 3.([x2]'.sinx + x2.[sinx]') =
Vypočteme jednotlivé derivace podle [xn]' = n.xn-1 a [sinx]' = cosx:
= 3.(2.x1.sinx + x2.cosx) = 6x.sinx + 3x2.cosx = 3x(2sinx + x.cosx)
Výsledek:    [3x2.sinx - 5]' = 3x(2sinx + x.cosx)


Derivace podílu funkcí:
Příklad 28: Vypočtěte derivaci funkce f: v libovolném bodě def.oboru.
= Použijeme pravidlo pro derivaci podílu - jmenovatele umocníme na druhou a v čitateli bude: součin derivace čitatele a nederivovaného jmenovatele - obráceně, součin nederivovaného čitatele a derivace jmenovatele:

Nyní vypočteme jednotlivé derivace a upravíme:

Výsledek:   


Při výpočtu derivací se velmi často setkáváme s funkcemi složenými, např. y = cos(x2-3), y = (lnx + 2)3 apod. Platí pro ně následující věta:
Má-li funkce z = g(x) derivaci v bodě xo a funkce y = f(z) derivaci v bodě zo=g(xo), potom má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě xo a platí:
[f(g(xo))]' = f'(zo).g'(xo)
Derivace složené funkce je součin derivace "vnější" funkce f(z) podle z a derivace "vnitřní" funkce g(x) podle x.
f'x = f'z . z'x 		(28)


Příklad 29: Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x3 + 4x - 2)5 v libovolném bodě def.oboru.
= Funkci f si můžeme rozložit na funkci y=z5 ("vnější" funkce) a z=x3 + 3x - 2 ("vnitřní" funkce).
Derivace "vnější" funkce podle z je f'z = 5.z4, derivace "vnitřní" funkce podle x je z'x = 3x2 + 4.
Derivace složené funkce je součin derivace "vnější" funkce a derivace "vnitřní" funkce:
[(x3 + 4x - 2)5]' = 5.z4 . (3x2+4) =
Po dosazení za z dostáváme:
=5.(x3 + 4x - 2)4 . (3x2+4)
Výsledek:    [y = (x3 + 4x - 2)5]' = 5.(x3 + 4x - 2)4.(3x2+4)


Příklad 30: Vypočtěte derivaci funkce f: y = sin3(x2 - 5x) v libovolném bodě def.oboru.
= Zde máme dokonce tři funkce: nejprve y=z3, potom z = sinu a nakonec u=x2 - 5x.
Derivace první podle z je f'z = 3.z2,
derivace druhé podle u je z'u = cosu
a derivace třetí podle x je u'x = 2x - 5
Derivace složené funkce je součinem těchto derivací:
[sin3(x2 - 5x)]' = 3.z2. cosu.(2x-5) =
Nyní dosadíme za z a za u a závorku (2x-5) napíšeme dopředu - násobí hodnotu funkce cosu a ne argument u:
= 3(2x-5).sin2(x2 - 5x).cos(x2 - 5x)
Výsledek:    [sin3(x2 - 5x)]' = 3(2x-5).sin2(x2 - 5x)cos(x2 - 5x)


Tečna grafu funkce:
Příklad 31: Napište rovnici tečny grafu funkce f: y = v bodě T[0,-1/3]
= Nejprve funkci f zderivujeme:

Potom vypočteme směrnici tečny v bodě T jako derivaci v bodě x=0:

Nakonec dosadíme do směrnicové rovnice přímky určeneé bodem T a směrnicí k:
y - (-1/3) = 11/9.(x - 0)
Po úpravách dostáváme konečnou rovnici tečny t: 11x - 9y - 3 = 0
Výsledek:    t: 11x - 9y - 3 = 0


Derivace vyšších řádů:
Má-li funkce f'(x) [derivace funkce f(x)] v každém bodě intervalu (a,b) derivaci, dostaneme v intervalu (a,b) novou funkci, která říkáme druhá derivace (derivace druhého řádu) funkce f(x) v intervalu (a,b) a označujeme ji f''(x). Platí pro ni: f''(x) = [f'(x)]'. Užívá se také označení: y'' , .
Fyzikální interpretace derivace druhého řádu představuje okamžité zrychlení a pohybu v čase to.
Podobně můžeme definovat třetí derivaci f'''(x), f(4) a derivace vyšších řádů f(n).

Příklad 31: Určete derivace funkce f: y = 2x4 + 3x .
= První derivace:
f'(x) = [2x4 + 3x]' = 8x3 + 3
Druhá derivace:
f''(x) = [8x3 + 3]' = 24x2
Třetí derivace:
f'''(x) = [24x2]' = 48x
Čtvrtá derivace:
f(4)(x) = [48x]' = 48
Pátá derivace a všechny vyšší derivace jsou již nula:
f(5)(x) = [48x]' = 0


Derivace implicitní funkce:
V analytické geometrii často hledáme tečny ke křivce, která není grafem funkce (kružnice, elipsa, hyperbola ..) a je dána implicitně - není přímo vyjádřené y. Např. elipsa: 16x2 + 25y2 = 400. Z této rovnice nemusíme vyjadřovat y a potom derivivat, ale můžeme derivovat hned takto: členy s proměnnou y derivujeme jako složenou funkci (y je funkcí x) , tedy [y2]'x = [y2]'y.[y]'x = 2y . y' , a ostatní členy běžným způsobem.

Příklad 32: Určete rovnici tečny elipsy 9x2 + y2 - 9x - 4y = 0 v bodě T[1,0].
= Určíme směrnici tečny v bodě T jako derivaci implicitní funkce. členy s y derivujeme jako složenou funkci:
2.9x + 2y.y' - 9 - 4.y' = 0
Nyní z této rovnice vyjádříme y':
2y.y' - 4.y' = 9 - 18x
y'(2y - 4) = 9 - 18x
y' = (9 - 18x)/(2y - 4)
Zjistíme hodnotu derivace v bodě T a to bude směrnice tečny:
k = y'(1) = (9-18)/(2.0 - 4) = 9/4
Teď již stačí dosadit do směrnicové rovnice přímky:
y - 0 = (9/4)(x - 1)
9x - 4y - 9 = 0
Výsledek:    t: 9x - 4y - 9 = 0



B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočítejte derivaci f: y = -x3 - 3cosx + logx v libovol.bodě D(f)       


Příklad 2:    Vypočtěte derivaci funkce f: y = x.ex - x2.lnx + v libovol.bodě D(f):       


Příklad 3:    Vypočtěte derivaci funkce f: y = 2x. v libovol.bodě D(f):       


Příklad 4:    Vypočtěte derivace f', f'', f''', f(4) funkce f: y = (2x - 3)5 v libovol.bodě D(f):       


Příklad 5:    Určete rovnici tečny kružnice x2 + y2 - 6x - 2y - 15 = 0 v bodě T[-1, -2].       


Příklad 6:    Svisle vzhůru bylo vrženo těleso počáteční rychlostí vo = 50 m.s-1. Určete okamžitou rychlost tělesa v čase 3 s, dobu a výšku výstupu tělesa a okamžité zrychlení v čase t. Tíhové zrychlení g zaokrouhlete na 10 m.s-2.       


Příklad 7:    Ve kterém bodě má parabola y = 3x2 - 5x +2 tečnu se směrovým úhlem 45o? Určete rovnici této paraboly v průsečíku s osou y.       


Příklad 8:    Určete derivaci funkce f: y = ln3x3 v libovolném bodě D(f).       


Příklad 9:    Určete rovnici tečny křivky x2 + xy + y2 = 3 v bodě T[-1, -1].       



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
2Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = 2x2 - 3x + 1BHelp Výsledek
3Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x3 - 1BHelp Výsledek
4Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
5Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = 3x - 2BHelp Výsledek
6Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (2x - 3)-1BHelp Výsledek
7Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
8Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: BHelp Výsledek
9Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
10Určete bod, ve kterém má graf funkce y = x.(1 + x)-1 tečnu procházející bodem M[3,?].AHelp Výsledek
11Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
12Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
13Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
14Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
15Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
16Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
17Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
18Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
19Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
20Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
21Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
22Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
23Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
24Vypočtěte derivaci funkce f: y = xex(cosx + sinx) v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
25Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = sinx + cosx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
26Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x.sinx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
27Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
28Určete směrnici tečny grafu funkce f:    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
29Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x - tgx    v jejím bodě T[p/3,?]BHelp Výsledek
30Vypočtěte derivaci funkce f: y = cosax.sinbx v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
31Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = 2sinx.cosx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
32Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x2.cosx    v jejím bodě T[p/3,?]BHelp Výsledek
33Vypočtěte derivaci funkce f: y = ln(1 - x2) v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
34Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
35Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
36Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
37Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
38Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
39Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
40Určete bod, ve kterém má graf funkce y = (2x + 1).x-1    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.BHelp Výsledek
41Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = x3 + x    osu x.CHelp Výsledek
42Určete bod, ve kterém má graf funkce y = sinx - cosx    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.BHelp Výsledek
43Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 8(4 + x2)-1    v bodě T[2,1].BHelp Výsledek
44Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 0,5x2 - 3x + 5    v bodě T[2,1].BHelp Výsledek
45Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = cosx    osu x.CHelp Výsledek
46Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 2x2 + 3x - 1    v bodě T[0,-1].BHelp Výsledek
47Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = tgx    osu x.CHelp Výsledek
48Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = x3/3 - 5x - 4    v bodě T[-3,?].BHelp Výsledek
49Určete bod, ve kterém má graf funkce y = 3x2 - 5x + 2    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.CHelp Výsledek
50Napište rovnici tečny ke křivce o rovnici y = x2 - 5x + 6, je-li tečna rovnoběžná s přímkou y = x + 3BHelp Výsledek
51Podle definice odvoďte okamžitou rychlost a zrychlení pohybu, jehož rovnice dráhy je s = at2.BHelp Výsledek
52Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
53Určete rychlost a zrychlení pohybu, jehož rovnice dráhy je: s = so + ct + 0,5gt2.BHelp Výsledek
54Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
55Těleso o hmotnosti 10kg se pohybuje po přímce podle rovnice s = 1 + t + t2. Jakou kinetickou enerii (E=0,5mv2) bude mít toto těleso na konci páté sekundy (počítáme od t=0)?BHelp Výsledek
56Těleso se pohybuje nerovnoměrně podle rovnice s = 2t3 - 3. Určete jeho rychlost v metrech za sekundu po 10 sekundách pohybu (od t=0).CHelp Výsledek
57Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
58Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
59Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
60Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x3 - 2)5 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
61Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
62Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x4 - 6x2 + 7)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
63Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x - 1)(x - 2)2(x - 3) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
64Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
65Vypočtěte derivaci funkce f: y = (a2 - x2)-1 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
66Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
67Vypočtěte derivaci funkce f: y = (5 - x)-2 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
68Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
69Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
70Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
71Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
72Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
73Vypočtěte derivaci funkce f: y = (3x - 2)2(x + 1) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
74Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
75Vypočtěte derivaci funkce f: y = (3x2 + 1)2 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
76Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x2 - 2x + 2)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
77V rovnici paraboly y = x2 + bx + c určete hodnoty koeficientů b, c tak, aby se graf této funkce dotýkal přímky y = x v bodě x = 2.AHelp Výsledek
78Vypočtěte derivaci funkce f: y = 3cos2x - cos3x v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
79Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
80Pod jakým úhlem protíná křivka y = lnx osu x?BHelp Výsledek
81Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
82Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
83Jaký vztah má platit mezi koeficienty p, q, aby se kubická parabola, jejíž rovnice je y = x3 + px + q, dotýkala osy x?AHelp Výsledek
84Pod jakym úhlem se protíná graf y = sinx a graf y = cosx BHelp Výsledek
85Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
86Pod jakym úhlem se protíná parabola y = x2/2 a parabola BHelp Výsledek
87Z bodu N[0,0] veďte tečny ke křivce y = x2 + 3x + 2.AHelp Výsledek
88Pod jakým úhlem se protíná hyperbola y = x-1 a parabola BHelp Výsledek
89Pod jakým úhlem se protíná graf y = x2 a graf x = y2 BHelp Výsledek
90Určete vzdálenost vrcholu paraboly y = x2 - 4x + 3 od tečny sestrojené v průsečíku této křivky s osou x.AHelp Výsledek
91Pod jakým úhlem se protíná graf y = cosx a graf y = 1/2 BHelp Výsledek
92Napište rovnici tečny paraboly y = 2 + x - x2 rovnoběžné s osou prvního kvadrantu.BHelp Výsledek
93Těleso sjede po nakloněné rovině 50 m dlouhé za 10 s. Předpokládáme-li, že dráha je kvadratickou funkcí času a že počáteční rychlost tělesa je rovna nule, jaká je jeho konečná rychlost?AHelp Výsledek
94Ve funkci y = x3 + 3x2 + cx + d určete koeficienty c, d tak, aby se daná křivka dotýkala osy prvního a třetího kvadrantu v bodě x = 2.BHelp Výsledek
95Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x2-1BHelp Výsledek
96Vlak se rozjíždí ze stanice pohybem vyjádřeným rovnicí s = at2 + bt + c a po uplynutí jedné minuty dosáhne rychlosti 60 km/h. Jak velkou vzálenost ujede, než této rychlosti dosáhne? Jaké je zrychlení onoho pohybu?AHelp Výsledek
97Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x3-xBHelp Výsledek
98Rychlík jedoucí rychlostí 90 km/h má zabrzdit tak, aby se zastavil na vzdálenost 1 km. Po jaké době se zastaví,jestliže dráha vlaku při brzdění je kvadratickou funkcí času? Jaká bude jeho rychlost po 10 s od okamžiku, kdy začal brzdit?AHelp Výsledek
99Raketa se pohybuje po určitou krátkou dobu přímočaře podle rovnice s = (2/9).sin(pt/2) + so. Určete zrychlení tohoto pohybu na konci první sekundy (s je v metrech, t v sekundách).BHelp Výsledek
100Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = x2 - 2x + 1 pro x = -2; -1; 0CHelp Výsledek
101Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x-1BHelp Výsledek
102Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (x + 2)2BHelp Výsledek
103Z bodu M[-2,2] veďte tečny ke křivce y = x + x-1.AHelp Výsledek
104Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (x + 3)/xBHelp Výsledek
105Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = (x - 1).x-2 pro x = 1; 0; -1 BHelp Výsledek
106Ve které bodě paraboly y = x2 - 2x + 5 je nutno vést tečnu, aby byla kolmá k ose I. a III.kvadrantu?BHelp Výsledek
107Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 + nxm)(x + 1) v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
108Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = (x2 + 2x - 3).x-1 pro x = 2; -1; 4 BHelp Výsledek
109Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = sinx.x-1 pro x = p/4BHelp Výsledek
110Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
111Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x)(x + 2) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
112Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x2)(2 - x2) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
113Vypočtěte derivaci funkce f: y = 3x4 - 2x2 - 1 v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
114Vypočtěte derivaci funkce f: y = sinx.cosx v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
115Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
116Vypočtěte derivaci funkce f: y = 2x2 - 3x - 10 v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
117Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
118Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
119Derivujte implicitní funkci f: x3 + ax2y + bxy2 + y3 = 0 AHelp Výsledek
120Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
121Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
122Derivujte implicitní funkci f: x4 + y4 = x2y2 AHelp Výsledek
123Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
124Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 + y2 = 2 v bodě T[1,1].BHelp Výsledek
125Derivujte implicitní funkci f: y2 - 2xy + b2 = 0 AHelp Výsledek
126Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 + y2 = 25 v bodě T[3,-4].BHelp Výsledek
127Napište rovnici tečny křivky o rovnici 5x2 + y2 = 25 v bodě T[1,-2].BHelp Výsledek
128Vypočtěte derivaci v bodě x=1 funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
129Napište rovnici tečny křivky o rovnici y2 = 6x - 8 v bodě T[2,2].BHelp Výsledek
130Derivujte implicitní funkci f: y3 - 3y + 2ax = 0 BHelp Výsledek
131Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
132Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 - 4y2 = 16 v bodě T[8,-2 ].BHelp Výsledek
133Napište rovnici tečny křivky o rovnici 16x2 + 25y2 = 400 v bodě T[3,16/5 ].BHelp Výsledek
134Najděte rovnici tečny grafu funkce f: y = ex - e-x v bodě T[0,?].BHelp Výsledek
135Určete rovnici tečen ke křivce y = x3 + x2 - 6x v průsečících křivky s osou x.AHelp Výsledek
136Je dána parabola y = x2 - 4x + 3. Určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která má směrový úhel 45o.BHelp Výsledek
137Je dána parabola y = x2 - 4x + 3. Pomocí derivace určete vrchol paraboly.BHelp Výsledek
138Je dána parabola y = 0,5x2 + 3x + 1. Určete rovnici tečny paraboly v bodě T[-2,?].BHelp Výsledek
139Derivujte implicitní funkci f: y2cosx = a2.sin3x AHelp Výsledek
140Je dána parabola y = 0,5x2 + 3x + 1. Určete bod, ve kterém má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5x - y - 2 = 0.BHelp Výsledek
141Napište rovnici tečny křivky x2 + xy + y2 = 3 v bod2 T[-1,-1].BHelp Výsledek
142Derivujte implicitní funkci f: x3 + y3 - 3axy = 0 AHelp Výsledek
143Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
144Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
145Vypočtěte derivaci funkce f: y = log3(x2-sinx) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
146Derivujte implicitní funkci f: AHelp Výsledek
147Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
148Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
149Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
150Derivujte implicitní funkci f: AHelp Výsledek
151Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
152Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = 2x2 - 3x + 1BHelp Výsledek
153Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x3 - 1BHelp Výsledek
154Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
155Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = 3x - 2BHelp Výsledek
156Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (2x - 3)-1BHelp Výsledek
157Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
158Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: BHelp Výsledek
159Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
160Určete bod, ve kterém má graf funkce y = x.(1 + x)-1 tečnu procházející bodem M[3,?].AHelp Výsledek
161Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
162Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
163Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
164Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
165Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
166Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
167Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
168Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
169Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
170Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
171Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
172Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
173Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
174Vypočtěte derivaci funkce f: y = xex(cosx + sinx) v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
175Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = sinx + cosx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
176Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x.sinx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
177Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
178Určete směrnici tečny grafu funkce f:    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
179Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x - tgx    v jejím bodě T[p/3,?]BHelp Výsledek
180Vypočtěte derivaci funkce f: y = cosax.sinbx v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
181Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = 2sinx.cosx    v jejím bodě T[p/6,?]BHelp Výsledek
182Určete směrnici tečny grafu funkce f: y = x2.cosx    v jejím bodě T[p/3,?]BHelp Výsledek
183Vypočtěte derivaci funkce f: y = ln(1 - x2) v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
184Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
185Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
186Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
187Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
188Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
189Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
190Určete bod, ve kterém má graf funkce y = (2x + 1).x-1    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.BHelp Výsledek
191Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = x3 + x    osu x.CHelp Výsledek
192Určete bod, ve kterém má graf funkce y = sinx - cosx    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.BHelp Výsledek
193Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 8(4 + x2)-1    v bodě T[2,1].BHelp Výsledek
194Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 0,5x2 - 3x + 5    v bodě T[2,1].BHelp Výsledek
195Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = cosx    osu x.CHelp Výsledek
196Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = 2x2 + 3x - 1    v bodě T[0,-1].BHelp Výsledek
197Určete úhel, pod kterým protíná křivka    y = tgx    osu x.CHelp Výsledek
198Napište rovnici tečny a normály ke křivce o rovnici y = x3/3 - 5x - 4    v bodě T[-3,?].BHelp Výsledek
199Určete bod, ve kterém má graf funkce y = 3x2 - 5x + 2    tečnu, svírající s osou x úhel 45o.CHelp Výsledek
200Napište rovnici tečny ke křivce o rovnici y = x2 - 5x + 6, je-li tečna rovnoběžná s přímkou y = x + 3BHelp Výsledek
201Podle definice odvoďte okamžitou rychlost a zrychlení pohybu, jehož rovnice dráhy je s = at2.BHelp Výsledek
202Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
203Určete rychlost a zrychlení pohybu, jehož rovnice dráhy je: s = so + ct + 0,5gt2.BHelp Výsledek
204Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
205Těleso o hmotnosti 10kg se pohybuje po přímce podle rovnice s = 1 + t + t2. Jakou kinetickou enerii (E=0,5mv2) bude mít toto těleso na konci páté sekundy (počítáme od t=0)?BHelp Výsledek
206Těleso se pohybuje nerovnoměrně podle rovnice s = 2t3 - 3. Určete jeho rychlost v metrech za sekundu po 10 sekundách pohybu (od t=0).CHelp Výsledek
207Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
208Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
209Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
210Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x3 - 2)5 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
211Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
212Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x4 - 6x2 + 7)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
213Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x - 1)(x - 2)2(x - 3) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
214Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
215Vypočtěte derivaci funkce f: y = (a2 - x2)-1 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
216Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
217Vypočtěte derivaci funkce f: y = (5 - x)-2 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
218Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
219Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
220Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
221Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
222Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
223Vypočtěte derivaci funkce f: y = (3x - 2)2(x + 1) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
224Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
225Vypočtěte derivaci funkce f: y = (3x2 + 1)2 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
226Vypočtěte derivaci funkce f: y = (x2 - 2x + 2)3 v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
227V rovnici paraboly y = x2 + bx + c určete hodnoty koeficientů b, c tak, aby se graf této funkce dotýkal přímky y = x v bodě x = 2.AHelp Výsledek
228Vypočtěte derivaci funkce f: y = 3cos2x - cos3x v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
229Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
230Pod jakým úhlem protíná křivka y = lnx osu x?BHelp Výsledek
231Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
232Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
233Jaký vztah má platit mezi koeficienty p, q, aby se kubická parabola, jejíž rovnice je y = x3 + px + q, dotýkala osy x?AHelp Výsledek
234Pod jakym úhlem se protíná graf y = sinx a graf y = cosx BHelp Výsledek
235Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
236Pod jakym úhlem se protíná parabola y = x2/2 a parabola BHelp Výsledek
237Z bodu N[0,0] veďte tečny ke křivce y = x2 + 3x + 2.AHelp Výsledek
238Pod jakým úhlem se protíná hyperbola y = x-1 a parabola BHelp Výsledek
239Pod jakým úhlem se protíná graf y = x2 a graf x = y2 BHelp Výsledek
240Určete vzdálenost vrcholu paraboly y = x2 - 4x + 3 od tečny sestrojené v průsečíku této křivky s osou x.AHelp Výsledek
241Pod jakým úhlem se protíná graf y = cosx a graf y = 1/2 BHelp Výsledek
242Napište rovnici tečny paraboly y = 2 + x - x2 rovnoběžné s osou prvního kvadrantu.BHelp Výsledek
243Těleso sjede po nakloněné rovině 50 m dlouhé za 10 s. Předpokládáme-li, že dráha je kvadratickou funkcí času a že počáteční rychlost tělesa je rovna nule, jaká je jeho konečná rychlost?AHelp Výsledek
244Ve funkci y = x3 + 3x2 + cx + d určete koeficienty c, d tak, aby se daná křivka dotýkala osy prvního a třetího kvadrantu v bodě x = 2.BHelp Výsledek
245Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x2-1BHelp Výsledek
246Vlak se rozjíždí ze stanice pohybem vyjádřeným rovnicí s = at2 + bt + c a po uplynutí jedné minuty dosáhne rychlosti 60 km/h. Jak velkou vzálenost ujede, než této rychlosti dosáhne? Jaké je zrychlení onoho pohybu?AHelp Výsledek
247Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x3-xBHelp Výsledek
248Rychlík jedoucí rychlostí 90 km/h má zabrzdit tak, aby se zastavil na vzdálenost 1 km. Po jaké době se zastaví,jestliže dráha vlaku při brzdění je kvadratickou funkcí času? Jaká bude jeho rychlost po 10 s od okamžiku, kdy začal brzdit?AHelp Výsledek
249Raketa se pohybuje po určitou krátkou dobu přímočaře podle rovnice s = (2/9).sin(pt/2) + so. Určete zrychlení tohoto pohybu na konci první sekundy (s je v metrech, t v sekundách).BHelp Výsledek
250Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = x2 - 2x + 1 pro x = -2; -1; 0CHelp Výsledek
251Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = x-1BHelp Výsledek
252Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (x + 2)2BHelp Výsledek
253Z bodu M[-2,2] veďte tečny ke křivce y = x + x-1.AHelp Výsledek
254Podle definice derivace vypočtěte derivaci funkce f: y = (x + 3)/xBHelp Výsledek
255Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = (x - 1).x-2 pro x = 1; 0; -1 BHelp Výsledek
256Ve které bodě paraboly y = x2 - 2x + 5 je nutno vést tečnu, aby byla kolmá k ose I. a III.kvadrantu?BHelp Výsledek
257Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 + nxm)(x + 1) v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
258Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = (x2 + 2x - 3).x-1 pro x = 2; -1; 4 BHelp Výsledek
259Vypočtěte hodnotu derivace funkce y = sinx.x-1 pro x = p/4BHelp Výsledek
260Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)AHelp Výsledek
261Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x)(x + 2) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
262Vypočtěte derivaci funkce f: y = (1 - x2)(2 - x2) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
263Vypočtěte derivaci funkce f: y = 3x4 - 2x2 - 1 v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
264Vypočtěte derivaci funkce f: y = sinx.cosx v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
265Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
266Vypočtěte derivaci funkce f: y = 2x2 - 3x - 10 v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
267Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
268Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
269Derivujte implicitní funkci f: x3 + ax2y + bxy2 + y3 = 0 AHelp Výsledek
270Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
271Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
272Derivujte implicitní funkci f: x4 + y4 = x2y2 AHelp Výsledek
273Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
274Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 + y2 = 2 v bodě T[1,1].BHelp Výsledek
275Derivujte implicitní funkci f: y2 - 2xy + b2 = 0 AHelp Výsledek
276Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 + y2 = 25 v bodě T[3,-4].BHelp Výsledek
277Napište rovnici tečny křivky o rovnici 5x2 + y2 = 25 v bodě T[1,-2].BHelp Výsledek
278Vypočtěte derivaci v bodě x=1 funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
279Napište rovnici tečny křivky o rovnici y2 = 6x - 8 v bodě T[2,2].BHelp Výsledek
280Derivujte implicitní funkci f: y3 - 3y + 2ax = 0 BHelp Výsledek
281Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)CHelp Výsledek
282Napište rovnici tečny křivky o rovnici x2 - 4y2 = 16 v bodě T[8,-2 ].BHelp Výsledek
283Napište rovnici tečny křivky o rovnici 16x2 + 25y2 = 400 v bodě T[3,16/5 ].BHelp Výsledek
284Najděte rovnici tečny grafu funkce f: y = ex - e-x v bodě T[0,?].BHelp Výsledek
285Určete rovnici tečen ke křivce y = x3 + x2 - 6x v průsečících křivky s osou x.AHelp Výsledek
286Je dána parabola y = x2 - 4x + 3. Určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která má směrový úhel 45o.BHelp Výsledek
287Je dána parabola y = x2 - 4x + 3. Pomocí derivace určete vrchol paraboly.BHelp Výsledek
288Je dána parabola y = 0,5x2 + 3x + 1. Určete rovnici tečny paraboly v bodě T[-2,?].BHelp Výsledek
289Derivujte implicitní funkci f: y2cosx = a2.sin3x AHelp Výsledek
290Je dána parabola y = 0,5x2 + 3x + 1. Určete bod, ve kterém má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5x - y - 2 = 0.BHelp Výsledek
291Napište rovnici tečny křivky x2 + xy + y2 = 3 v bod2 T[-1,-1].BHelp Výsledek
292Derivujte implicitní funkci f: x3 + y3 - 3axy = 0 AHelp Výsledek
293Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
294Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
295Vypočtěte derivaci funkce f: y = log3(x2-sinx) v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
296Derivujte implicitní funkci f: AHelp Výsledek
297Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
298Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
299Vypočtěte derivaci funkce f: v libovol.bodě D(f)BHelp Výsledek
300Derivujte implicitní funkci f: AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!