Matika krokem - 2.lekce

Matika krokem - 2.lekce ...

Komplexní čísla
2.lekce - Komplexní číslo sdružené, dělení komplexních čísel

A. Výklad a ukázkové příklady

Komplexní číslo vydělíme reálným číslem, jestliže vydělíme tímto reálným číslem jeho reálnou část i imaginární část.

(5)

Tedy: (4 - 3i) / 3 = 4/3 - i .

Komplexní číslo sdružené

Nyní si zavedeme komplexní číslo sdružené, které nám pomůže vyřešit problém dělení komplexním číslem.

Komplexní číslo sdružené s číslem a + bi je číslo a - bi. Komplexí číslo sdružené k číslu z značíme

(6)

Je-li tedy z = 3 - 2i , je

= 3 + 2i .

Pro součin komplexního čísla a čísla s ním sdruženého platí:

z .

= (a + bi).(a - bi) = a² + b²
Součinem komplexního čísla a čísla s ním sdruženého je reálné, nezáporné číslo

(7)

Podíl komplexních čísel

Máme-li vypočítat podíl x/y komplexních čísel x , y (y nenulové), rozšíříme zlomek číslem sdruženým ke jmenovateli, tím vznikne ve jmenovateli reálné číslo, kterým již bez problémů vydělíme.

(8)

Příklad 1

Příklad 2

Mocnina s celým exponentem

Mocnina komplexního čísla pro celý záporný exponent je definována stejně jako pro reálné číslo:

Pravidla uvedená pro mocniny komplexních čísel s přirozeným exponentem platí i pro exponenty celé záporné, včetně z⁰ = 1.

Příklad 3

Příklad 4

Rovnice s komplexními koeficienty

V oboru komplexních čísel lze řešit lineární rovnice s komplexními koeficienty.

Příklad 5 Řešte v C rovnici:

=	Po vynásobení (1 - 2i)(2 + i) dostáváme: (1 +i)(2 +i)x + 2i(1 - 2i)(2 +i) = (1 - 2i)(2 + i)x - (1 -2i) (1 + 3i)x + 2i(4 - 3i) = (4 -3i)x - 1 + 2i (-3 + 6i)x = -1 + 2i - 8i - 6

Příklad 6 Řešte v C rovnici: (1 - i).z = 2

- i(1 + i)

z je komplexní číslo, můžeme ho tedy napsat jako z = x + iy , kde x , y jsou čísla reálná (

= x - iy )
Po dosazení dostáváme:
(1 - i)(x + iy) = 2(x - iy) - i(1 + i)
x - ix + iy + y = 2x - 2iy - i + 1
Porovnáním reálných částí a porovnáním imaginárních částí dostáváme soustavu rovnic:
x + y = 2x + 1
-x + y = -2y - 1
Řešením této soustavy je y = -1 a x = -2
Výsledek: Hledané komplexní číslo z = -2 - i

Důkazové úlohy

Ukážeme si ještě postup při důkazových úlohách.

Příklad 7 Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla z₁ a z₂ platí:

=	Zvolíme z₁ = a + bi , z₂ = c + di , potom V obou případech jsme dostali stejný výsledek a tím jsme tvrzení dokězali.

B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

C. Příklady na procvičení učiva

Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.

Příklady označené

A mají největší obtížnost,

B střední a

C nejmenší.

1	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru: +(i-2)(4-i)	C	Help	Výsledek
2	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
3	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
4	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
5	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
6	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
7	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
8	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: (2+i)(3-i)-i	B	Help	Výsledek
9	Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a: ax/(2-i) + ix = a(1+i) - x	A	Help	Výsledek
10	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:	B	Help	Výsledek
11	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
12	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: (1-i)²	B	Help	Výsledek
13	Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic: (1+i)x + 2y = 2 ; ix + (1-2i)y = 1	A	Help	Výsledek
14	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: p -2 + i + i^-1	B	Help	Výsledek
15	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	B	Help	Výsledek
16	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	A	Help	Výsledek
17	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	B	Help	Výsledek
18	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	A	Help	Výsledek
19	Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:	B	Help	Výsledek
20	Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:	C	Help	Výsledek
21	V množině C řešte rovnici s neznámou x::	B	Help	Výsledek
22	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
23	Dokažte, že pro libovolné reálné číslo p je číslo: (p-i)/(1+pi) ryze imaginární	C	Help	Výsledek
24	V množině C řešte rovnici s neznámou x::	B	Help	Výsledek
25	Určete všechna komplexní čísla z, pro něž platí::	B	Help	Výsledek
26	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
27	V množině C řešte rovnici: (1 - 2i)z = 2 - i(2 + i)	B	Help	Výsledek
28	V množině C řešte rovnici: (1 + i)z/i = (1 - i)( - 1)	B	Help	Výsledek
29	Vypočtěte:	A	Help	Výsledek
30	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
31	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
32	Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic: (1-i)x + y = 3 - i ; x + (1-i)y = 1 - i	A	Help	Výsledek
33	V množině C řešte rovnici: z. = 3z	B	Help	Výsledek
34	V množině C řešte rovnici: z² = z + - i(2 + i)	B	Help	Výsledek
35	Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a: (3+4i)x - (2+2i)x = 3 - 5i + ax	A	Help	Výsledek
36	V množině C řešte rovnici: i(z + - 1) = (1 - i)(z - + 1)	B	Help	Výsledek
37	Vypočtěte:	B	Help	Výsledek
38	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru: +(i-2)(4-i)	C	Help	Výsledek
39	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
40	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
41	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
42	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
43	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
44	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
45	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: (2+i)(3-i)-i	B	Help	Výsledek
46	Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a: ax/(2-i) + ix = a(1+i) - x	A	Help	Výsledek
47	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:	B	Help	Výsledek
48	Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
49	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: (1-i)²	B	Help	Výsledek
50	Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic: (1+i)x + 2y = 2 ; ix + (1-2i)y = 1	A	Help	Výsledek
51	V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem: p -2 + i + i^-1	B	Help	Výsledek
52	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	B	Help	Výsledek
53	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	A	Help	Výsledek
54	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	B	Help	Výsledek
55	V množině C řešte rovnici s neznámou x:	A	Help	Výsledek
56	Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:	B	Help	Výsledek
57	Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:	C	Help	Výsledek
58	V množině C řešte rovnici s neznámou x::	B	Help	Výsledek
59	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
60	Dokažte, že pro libovolné reálné číslo p je číslo: (p-i)/(1+pi) ryze imaginární	C	Help	Výsledek
61	V množině C řešte rovnici s neznámou x::	B	Help	Výsledek
62	Určete všechna komplexní čísla z, pro něž platí::	B	Help	Výsledek
63	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	C	Help	Výsledek
64	V množině C řešte rovnici: (1 - 2i)z = 2 - i(2 + i)	B	Help	Výsledek
65	V množině C řešte rovnici: (1 + i)z/i = (1 - i)( - 1)	B	Help	Výsledek
66	Vypočtěte:	A	Help	Výsledek
67	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
68	Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:	B	Help	Výsledek
69	Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic: (1-i)x + y = 3 - i ; x + (1-i)y = 1 - i	A	Help	Výsledek
70	V množině C řešte rovnici: z. = 3z	B	Help	Výsledek
71	V množině C řešte rovnici: z² = z + - i(2 + i)	B	Help	Výsledek
72	Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a: (3+4i)x - (2+2i)x = 3 - 5i + ax	A	Help	Výsledek
73	V množině C řešte rovnici: i(z + - 1) = (1 - i)(z - + 1)	B	Help	Výsledek
74	Vypočtěte:	B	Help	Výsledek