Matika krokem - 4.lekce ...

Komplexní čísla
4.lekce - Goniometrický tvar komplexního čísla, Moivreova věta
Vytisknout  
Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Goniometrický tvar komplexního čísla

Bod Z - obraz komplexního čísla z = a + bi v Gaussově rovině - můžeme určit také pomocí jeho vzdálenosti r od počátku a velikosti orientovaného úhlu j:

Platí:
cos j = a/r , sin j = b/r a tedy:       b = r . sin j , a = r . cos j
Číslo z lze tedy zapsat:        z = a + bi = r . cos j + r . sin j . i = r(cos j + i.sin j)
Reálné číslo j (určující velikost orientovaného úhlu) nazýváme argument komplexního čísla.
Reálné číslo r je absolutní hodnota komplexního čísla. r = |z| =

Goniometrický tvar komplexního čísla z0 je jeho vyjádření ve tvaru:
z = |z|. (cos j + i.sin j)
kde j je jeho argument, pro který platí: cos j = a/r , sin j = b/r 		(12)

Při převodu kompl.čísla do goniometrického tvaru musíme tedy určit nejprve absolutní hodnotu a argument a potom dosadit do předchozího zápisu.
Při výpočtu argumentu je dobré využít geometrického znázornění.

Příklad 1: Vyjádřete v goniometrickém tvaru číslo z = 3i.
=
Číslo z = 3i má argument p/2 (90`) a absolutní hodnotu 3 a tedy:
z = 3.(cos p/2 + i.sin p/2)
Výsledek:    z = 3.(cos 90` + i.sin 90`)


Příklad 2: Vyjádřete v goniometrickém tvaru číslo z = 1 - i.
=
Absolutní hodnota: r =
Argument: pomocný ostrý úhel j' je z obrázku p/4 (45`) a argument tedy je j = 2p - p/4 = 7p/4 (315`)
Výsledek:    z = (cos 7p/4 + i.sin 7p/4)


Příklad 3: Vyjádřete v goniometrickém tvaru číslo z = -1 + i.
=
Absolutní hodnota: r = 2
Argument:

U komplexníxh čísel, kde argument nemůžeme určit z obrázku bez výpočtu, postupujeme takro:
1. Určíme nejprve kvadrant, kde se obraz čísla (a tedy i argument) nachází.
     V našem příkladě je to II.kvadrant.
2. Vypočítáme pomocný ostrý argument j' pomocí vztahu cos j' = |a|/|z|
     V našem příkladě je to: cos j' = 1/2 a tedy j' = p/3 (60°)
3. Vypočteme skutečný argument j převedením pomocného j' do příslušného kvadrantu:
      II.kv ... p - j' (180° - j')
      III.kv ... p + j' (180° + j')
      IV.kv ... 2p - j' (360° - j')
      V našem příkladě tedy j = p - p/3 = 2p/3 (120°)
Výsledek:    z = 2(cos 2p/3 + i.sin 2p/3)


Při obráceném převodu (z goniometrického tvaru do algebraického tvaru) vyčíslíme hodnoty goniometrických funkcí a odstraníme závorky.

Příklad 4: Vyjádřete v algebraickém tvaru číslo z
= z = 4(cos p/6 + i.sin p/6) = 4(/2 + i.1/2) = 2 + 2i
Výsledek:    z = (cos 7p/4 + i.sin 7p/4)


Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru

V goniometrickém tvaru se snadno určí součin a podíl komplexníxh čísel.

Součin libovolných nenulových komplexníxh čísel z1 = |z1|(cos j1 + i.sin j1) a z2 = |z2|(cos j2 + i.sin j2) je rovno komplexnímu číslu :
z1 . z2 = |z1|.|z2|[cos(j1+j2) + i.sin(j1+j2)] 		(13)

Při násobení tedy absolutní hodnoty vynásobíme a argumenty sečteme.

Podíl libovolných nenulových komplexníxh čísel z1 = |z1|(cos j1 + i.sin j1) a z2 = |z2|(cos j2 + i.sin j2) je rovno komplexnímu číslu :
z1 / z2 = |z1|/|z2|[cos(j1-j2) + i.sin(j1-j2)] 		(14)

Při dělení tedy absolutní hodnoty vydělíme a argumenty odečteme - v příslušném pořadí!.

Příklad 5: Vypočtěte součin z1 . z2 a podíl z1 / z2 komplexních čísel:
= z1 = (cos p/6 + i.sin p/6) , z2 = (cos 5p/6 + i.sin 5p/6)

z1 . z2 = .[cos(p/6+5p/6) +i.sin(p/6+5p/6)] = 2(cos p + i.sin p) = -2

z1 / z2 = /[cos(p/6-5p/6) +i.sin(p/6-5p/6)] = cos (-4p/6) + i.sin (-4p/6) = cos (4p/3) + i.sin (4p/3) = - /2 - i.1/2


Mocnina komplexního čísla

Zobecněním předchozích pravidel lze dokázat pravidlo pro celou mocninu komplexního čísla:

Pro každé celé číslo n a každé komplexní číslo z = |z|.(cos j + i.sin p) platí:
zn = [|z|.(cos j + i.sin p)]n = |z|n.(cos n.j + i.sin n.j) 		(15)

Při umocnění tedy absolutní hodnotu umocníme a argument vynásobíme exponentem mocniny.

Pro komplexní jednotku (|z|=1) a přirozený exponent dostáváme větu, kterou odvodil již v 18.století francouzský matematik A.de Moivre:

Moivreova věta

Pro každé přirozené číslo n a libovolné reálné číslo j platí:
(cos j + i.sin j)n = (cos n.j + i.sin n.j) 		(16)


Příklad 6: Vypočtěte (cos p/6 + i.sin p/6)14
= (cos p/6 + i.sin p/6)14 = cos 14p/6 + i.sin 14p/6 = cos 7p/3 + i.sin 7p/3 = cos p/3 + i.sin p/3 = 1/2 + i./2


Příklad 7: Pomocí Moivreovy věty vyjádřete sin3x pomocí mocnin sinx a cosx.
= (cosx + i.sinx)3 = cos3x + i.sin3x
užitím vzorce (a + b)3 dostáváme:
cos3x + i.3cos2xsinx - 3cosxsin2x - i.sin3x = cos3x + i. sin3x
a tedy pro imaginární části musí platit:
sin3x = 3cos2xsinx - sin3x = 3(1-sin2x).sinx - sin3x = 3sinx - 4sin3x
a pro reálné části:
cos3x = cos3x - 3cosx.sin2x = cos3x - 3cosx.(1-cos2x) = cos3x - 3cosx + 3cos3x = 4cos3x - 3cosx


Příklad 8: Vypočtěte:
= Nejprve upravíme zlomek a převedeme do goniometrického tvaru:

a nyní umocníme:



B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    V goniometrickém tvaru vyjádřete číslo:       


Příklad 2:    V goniometrickém tvaru vyjádřete číslo:       


Příklad 3:    Vypočtěte:       


C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1 - iCHelp Výsledek
2Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
3V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:  (-1 + i)-50BHelp Výsledek
4V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   -5 + 5iCHelp Výsledek
5Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
6Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=2(cosp/6 + i.sinp/6)CHelp Výsledek
7Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
8Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=4(cosp/12 + i.sinp/12)CHelp Výsledek
9Daný výraz zapište jednodušeji:   BHelp Výsledek
10V goniometrickém tvaru napište komplexní číslo z:   1 + cosx + i.sinx, 0xpAHelp Výsledek
11V goniometrickém tvaru napište komplexní číslo z:   sinx + i.cosxBHelp Výsledek
12V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   piCHelp Výsledek
13Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=4(cosp/8 + i.sinp/8)4BHelp Výsledek
14Pomocí Moivreovy věty vyjádřete sin4x, cos4x tak, že použijete jen mocnin sinx, cosx pro x reálné AHelp Výsledek
15Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=2(cosp/5 + i.sinp/5)10BHelp Výsledek
16V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   pCHelp Výsledek
17Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=(cosp/6 + i.sinp/6)-3BHelp Výsledek
18Co nejjednodušším výrazem zapište výsledek násobení:  (cosx+isinx)(cos2x+isin2x)...(cosnx+isinnx)AHelp Výsledek
19Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
20V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
21Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
22Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   1/2iBHelp Výsledek
23Ze všech komplexních čísel z, pro něž je |z+25i|15, vyberte ta, která mají v intervalu <0,2p) největší argument.AHelp Výsledek
24Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
25Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   |3+2i|BHelp Výsledek
26V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1+cosp/4 + i.sinp/4)CHelp Výsledek
27Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   (1-i)2BHelp Výsledek
28Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   (1-i)2+2iBHelp Výsledek
29V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
30V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   2(cosp/4 + i.sinp/4)BHelp Výsledek
31V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1/2(cos193p + i.sin193p)BHelp Výsledek
32Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   z = + iCHelp Výsledek
33V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   cosp/3 + i.sinp/3BHelp Výsledek
34V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
35V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (cos-5p/3 + i.sin-5p/3)BHelp Výsledek
36V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1/iCHelp Výsledek
37V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (1-i)(cos5p/12+isin5p/12)BHelp Výsledek
38V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (cos2p/5+isin2p/5).iBHelp Výsledek
39V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   AHelp Výsledek
40V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   2isinp/4.(cos7p/3+isin7p/3).(cos(-2p/3)+isin(-2p/3))BHelp Výsledek
41V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   BHelp Výsledek
42V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   AHelp Výsledek
43V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1 - iCHelp Výsledek
44Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
45V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:  (-1 + i)-50BHelp Výsledek
46V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   -5 + 5iCHelp Výsledek
47Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
48Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=2(cosp/6 + i.sinp/6)CHelp Výsledek
49Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
50Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=4(cosp/12 + i.sinp/12)CHelp Výsledek
51Daný výraz zapište jednodušeji:   BHelp Výsledek
52V goniometrickém tvaru napište komplexní číslo z:   1 + cosx + i.sinx, 0xpAHelp Výsledek
53V goniometrickém tvaru napište komplexní číslo z:   sinx + i.cosxBHelp Výsledek
54V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   piCHelp Výsledek
55Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=4(cosp/8 + i.sinp/8)4BHelp Výsledek
56Pomocí Moivreovy věty vyjádřete sin4x, cos4x tak, že použijete jen mocnin sinx, cosx pro x reálné AHelp Výsledek
57Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=2(cosp/5 + i.sinp/5)10BHelp Výsledek
58V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   pCHelp Výsledek
59Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   z=(cosp/6 + i.sinp/6)-3BHelp Výsledek
60Co nejjednodušším výrazem zapište výsledek násobení:  (cosx+isinx)(cos2x+isin2x)...(cosnx+isinnx)AHelp Výsledek
61Komplexní číslo z vyjádřete v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
62V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
63Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
64Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   1/2iBHelp Výsledek
65Ze všech komplexních čísel z, pro něž je |z+25i|15, vyberte ta, která mají v intervalu <0,2p) největší argument.AHelp Výsledek
66Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   BHelp Výsledek
67Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   |3+2i|BHelp Výsledek
68V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1+cosp/4 + i.sinp/4)CHelp Výsledek
69Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   (1-i)2BHelp Výsledek
70Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   (1-i)2+2iBHelp Výsledek
71V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
72V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   2(cosp/4 + i.sinp/4)BHelp Výsledek
73V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1/2(cos193p + i.sin193p)BHelp Výsledek
74Komplexní číslo z vyjádřete v goniometrickém tvaru:   z = + iCHelp Výsledek
75V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   cosp/3 + i.sinp/3BHelp Výsledek
76V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   CHelp Výsledek
77V algebraickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (cos-5p/3 + i.sin-5p/3)BHelp Výsledek
78V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   1/iCHelp Výsledek
79V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (1-i)(cos5p/12+isin5p/12)BHelp Výsledek
80V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   (cos2p/5+isin2p/5).iBHelp Výsledek
81V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   AHelp Výsledek
82V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   2isinp/4.(cos7p/3+isin7p/3).(cos(-2p/3)+isin(-2p/3))BHelp Výsledek
83V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   BHelp Výsledek
84V goniometrickém tvaru vyjádřete komplexní číslo:   AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


E. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!