Matika krokem - 7.lekce ...

Limita, derivace a integrál
7.lekce - Určitý integrál a jeho aplikace
Vytisknout  

Skype výuka, doučování
A. Výklad a ukázkové příklady

Určitý integrál

Ke každé funkci spojité v intervalu <a,b> existuje primitivní funkce v tomto intervalu. Pomocí primitivní funkce je definován tzv. určitý integrál a umožňuje řešit řadu úloh např. na výpočet obsahu rovinných útvarů a objemu rotačních těles.

Nechtˇ F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu I. Potom rozdíl F(b) - F(a) funkčních hodnot funkce F v libovolných bodech a,b tohoto intervalu se nazývá Newtonův určitý integrál funkce f v mezích od a do b a značí se:

číslo a se nazývá dolní mez, číslo b horní mez integrálu, funkce f integrand, dx diferenciál x označující integrační proměnnou. Platí tedy:
= F(b) - F(a)
(49)

Určitý integrál je na rozdíl od neurčitého integrálu jednoznačně definované reálné číslo.
Jakou má toto číslo geometrickou interpretaci?

Mějme dánu spojitou a nezápornou funkci f v intervalu <a,b>.Potom udává učitý integrál obsah útvaru U (na obrázku) ohraničeného grafem funkce f, osou x a přímkami x = a , x = b.
Tedy: = S(U)
Příklad 61: Vypočtěte
= Nejprve podle definice zjistíme primitivní funkci k funkci f(x) = 6x2.
Tedy F(x) = 2x3 a potom vypočteme rozdíl F(3) - F(1) = 2.33 - 2.13.
Pro zápis řešení užíváme výhodnějšího způsobu, kdy primitivní funkci zapíšeme do hratanaté závorky a meze připíšeme. Potom dosadíme horní mez a dolní mez a odečteme (v tomto pořadí):
2.33 - 2.13 = 52
Výsledek:    = 52



Výpočet určitého integrálu

Při výpočtu primitivní funkce používáme pravidel a vět poznaných v předchozí lekci. Navíc uvedeme některé poučky o mezích integrálu:

Při záměně mezí určitého integrálu se mění znaménko, tedy:
Je-li funkce f spojitá v intervalu <a,b> a bod c je jeho vnitřním bodem, pak lze integrál vyjádřit jako součet integrálů v dílčích intervalech:
(50)


Příklad 62: Vypočtěte x(1 - x)2dx
= Nejprve podle definice zjistíme primitivní funkci. Závorku umocníme a roznásobíme:
x(1 - x)2dx = x(1 - 2x + x2)dx = (x - 2x2 + x3)dx =
Nyní integrujeme člen po členu:
= [x2/2 - 2x3/3 + x4/4]13 =
Nakonec dosadíme meze a odečteme:
= (9/2 - 2.27/3 + 81/4) - (1/2 - 2/3 + 1/4) = 99/4 - 18 - 3/4 + 2/3 = 6 + 2/3 = 20/3
Výsledek:   x(1 - x)2dx = 20/3


Lze samozřejmě používat i metodu per partes a substituční metodu. U substituční metody je třeba pamatovat na to, že při zavedení pomocné proměnné se také změní integrační meze!

Příklad 63: Vypočtěte
= Použijeme substituci t = x2 + 1
Potom t' = 2x = dt/dx .
Vyjádříme dx: dx = dt/2x
Nyní nesmíme zapomenout přepočítat meze integrálu. Vypočteme odpovídající hodnoty proměnné t pro pro původní meze x. t(-1) = x2 + 1 = (-1)2 + 1 = 2
t(2) = x2 + 1 = 22 + 1 = 5
Nyní již můžeme dosadit:
=
Tento integrál snadno vypočteme a dosadíme meze:
= [0,5.lnt]25 = 0,5.ln5 - 0,5.ln2 = 0,5.ln2,5
Výsledek:    = 0,5.ln2,5

Příklad 64: Vypočtěte (3x + 2)lnx dx
= Použijeme metodu per partes.
Zvolíme za u´= 3x + 2 a za v = lnx
Potom bude u = 3x2/2 + 2x a v' = 1/x
Po dosazení dostáváme:
(3x + 2)lnx dx = [(3x2/2 + 2x)lnx]12 - (3x2/2 + 2x)/x dx = = (6 + 4)ln2 - (3/2 + 2)ln1 - (3x/2 + 2)dx = 10ln2 - [3x2/4 + 2x]12 = 10ln2 - 7 + 2,75 = 10ln2 - 4,25
Výsledek:   (3x + 2)lnx dx = 10ln2 - 4,25


Aplikace určitého integrálu

Pomocí integrálního počtu je možné vypočítat obsah rovinných útvarů, objemy rotačních těles a délky rovinných křivek. Velké uplatnění má určitý integrál také ve fyzice a chemii.

Obsah rovinného útvaru

Pokud se jedná o rovinný útvar omezený osou x, přímkami x=a , x=b a grafem spojité, nezáporné funkce y = f(x), pak je jeho obsah dán určitým integrálem, jak bylo uvedeno u geometrické interpretace určitého integrálu.

Mějme dánu spojitou a nezápornou funkci f v intervalu <a,b>.Potom udává učitý integrál obsah útvaru U (na obrázku) ohraničeného grafem funkce f, osou x a přímkami x = a , x = b.   Tedy: S(U) = (51)


Pokud funkce y = f(x) v intervalu <a,b> nabývá nekladných hodnot, pak vypočteme absolutní hodnotu příslušného určitého integrálu:
S(U) = || = -
Jestliže funkce y = f(x) nabývá v intervalu <a,b> jak kladných, tak i záporných hodnot, potom tento interval rozdělíme na dílčí intervaly, ve kterých funkce nabývá pouze nekladných hodnot resp. nezáporných hodnot a vypočteme obsahy podle předcházejících úvah.


Příklad 65: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkou y = x2 - 1 , osou x
a přímkami x = -2 , x = 3.
= Funkce y = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) protíná osu x v bodech x = -1, x = 1
a je v intervalech <-2,-1> a <1,3> nezáporná a v intervalu <-1,1> nekladná - viz. obrázek.
Rozdělíme proto interval <-2,3> na tři dílčí intervaly a obsahy dílčích útvarů U1, U2, U3 sečteme.
S(U) = S(U1) + S(U2) + S(U3) = = [x3/3 - x]-1-2 + |[x3/3 - x]1-1| + [x3/3 - x]31 = -1/3 + 1 - (-8/3 + 2) + |1/3 - 1 - (-1/3 + 1)| + 22/3 - 3 - (1/3 - 1 ) = 28/3 j2
Výsledek:   Obsah útvaru je 28/3 j2.


Je-li rovinný útvar ohraničený dvěma křivkami y = f(x) shora a y = g(x) zdola (f, g jsou spojité funkce a platí g(x) f(x) - viz obrázek), potom pro jeho obsah platí:
.
(52)


Vztah platí i v případě, že některá z funkcí nabývá záporných hodnot (jako je tomu na obrázku u funkce g).

Jestliže víme, že křivky y = f(x) , y = g(x) se v intervalu (a,b) neprotínají, nemusíme zjišťovat, zda f(x) > g(x) nebo f(x) < g(x). Vypočteme absolutní hodnotu z inegrálu rozdílu funkcí:

Příklad 66: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = 3 - x2 , y = 2x.
= První křivkou je parabola a druhou je přímka - viz obrázek. Abychom určili meze určitého integrálu, musíme zjistit průsečíky křivek.Řešíme rovnici:
3 - x2 = 2x
x2 + 2x - 3 = 0
x-ové souřadnice průsečíků jsou tedy x= -3 a x = 1. Podle (52) dostáváme:
S(U) = = [3x - x3/3 - x2]1-3 = 3 - 1/3 - 1 - (-9 + 9 - 9) = 11 - 1/3 = 32/3.
Výsledek:   Obsah útvaru je 32/3 j2.


Jestliže je útvar omezen třemi a více křivkami, je ho třeba rozložit na několik částí.

Příklad 67: Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami f: y = x2 , g: y = x2/3, h: y = 8 - x2
= Všechny křivky jsou paraboly - viz obrázek. Útvar je souměrný podle osy y. Stačí tedy vypočítat obsah části pro kladné hodnoty x a vynásobit dvěma. Tuto pravou část musíme rozdělit na dvě části U1 a U2. Abychom určili meze integrálu, musíme zjistit průsečíky křivek.f, h a g, h. Řešíme rovnici:
8 - x2 = x2
x2 = 4
x-ové souřadnice průsečíků f, h jsou tedy x= -2 a x = 2.
8 - x2 = x2/3
x2 = 6
x-ové souřadnice průsečíků g, h jsou tedy x= - a x = .
Podle (52) dostáváme:
S(U1) + S(U2) = = [2x3/9]20 + [8x - 4x3/9]2 = 16/9 + 8. - 8./3 - 16 + 32/9 = 16.( - 2)/3
Výsledek:   Obsah útvaru je 32.( - 2)/3.



Objem rotačního tělesa

Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí určitého integrálu.

Nechť rotační těleso vznikne rotací křivky y = f(x) kolem osy x (f je nezáporná spojitá funkce) v intervalu <a,b>. Potom jeho objem V vypočteme podle vztahu:
  
Pokud rotační těleso vznikne rotací křivky x = f(y) kolem osy y (f je nezáporná spojitá funkce) v intervalu <a,b>. Potom jeho objem V vypočteme podle vztahu:
  
(53)


Příklad 68: Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kuželu s poloměrem podstavy r a výškou v.
= Funkce f je přímka určená body [0,0] a [v,r]. Její směrový vektor má souřadnice (v,r) a normálový vektor (r,-v). Rovnice přímky je tedy rx - vy = 0.
Vyjádříme y: y = rx/v
Přímku bereme v intervalu <0,v>, to jsou také meze integrálu.
Dosazením do (53) dostáváme:
= pr2v/3 j3
Výsledek:   Objem rotačního kuželu udává vzorec: V = pr2v/3 j3



Příklad 69: Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami x2 - y2 = 4, y = -2 , y = 2 kolem osy y.
= Křivkou omezující rotující útvar je rovnosá hyperbola (a=b=2) pro y z intervalu <-2,2>. Vznikne rotační těleso znázorněné na obrázku.
Z rovnice hyperboly vyjádříme x2: x2 = y2 + 4
a dosadíme do vztahu (53) pro osu y:
= p(8 + 8/3 + 8 + 8/3) = = 64p/3 j3
Výsledek:   Objem rotačního kuželu je 64p/3 j3



A to již konec kurzu Limita , derivace, integrál.


Přehled použité a doporučené literatury:
PhDr.Ivan Bušek - Řešené maturitní úlohy z matematiky, SPN 1988
Petr Benda a kol. - Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN 1983
RNDr.Dag Hrubý, RNDr.Josef Kubát - Matematika pro gymnázia - Diferenciální a integrální počet, Prometheus 1997
Prof.dr.Beloslav Riečan, DrSc. a kol. - Matematika pro IV.ročník gymnázií, SPN 1987
František Vejsada, František Talafous - Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia, SPN 1969


B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočtěte:       


Příklad 2:    Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 5x + 4 , osou x, y a přímkou x = 6.       


Příklad 3:    Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolami: y = x2 - 4x + 2 ,    y = -x2 + 6x - 6       


Příklad 4:    Vypočtěte objem tělesa, vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami
                    x2 + y2 - 2x = 0 , y = x kolem osy x.
      



C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/cos2x , y = 0 , x = 0 , x = p/4 BHelp Výsledek
2Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = cos2x , y = 0 , x = 0BHelp Výsledek
3Vypočtěte CHelp Výsledek
4Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = ex, y = e-x , y = eBHelp Výsledek
5Vypočtěte CHelp Výsledek
6Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
7Vypočtěte CHelp Výsledek
8Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = tgx , y = 0 , x = 0 , x = p/4BHelp Výsledek
9Vypočtěte CHelp Výsledek
10Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
11Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací jednoho oblouku sinusoidy kolem osy xBHelp Výsledek
12Vypočtěte CHelp Výsledek
13Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sin2x , y = 0 , x<0,2p>BHelp Výsledek
14Vypočtěte CHelp Výsledek
15Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = 2 , x = eBHelp Výsledek
16Vypočtěte CHelp Výsledek
17Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
18Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného grafem funkce y - cosx , osou x a přímkami x = 0 , x = 2pBHelp Výsledek
19Vypočtěte CHelp Výsledek
20Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolami y = x2 - 4x + 5 , y = -x2 + 4x - 1BHelp Výsledek
21Vypočtěte CHelp Výsledek
22Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x4 - 2x3 + 1 , y - 1 = 0BHelp Výsledek
23Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 + 2 , přímkou x + y - 8 = 0 a osami x, yBHelp Výsledek
24Vypočtěte CHelp Výsledek
25Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = sinx + 2 v intervalu <0,p>BHelp Výsledek
26Vypočtěte objem rotačního paraboloidu o polom2ru podstavy r = 3 a výšce v = 6 .BHelp Výsledek
27Vypočtěte CHelp Výsledek
28Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = - x , y = x - 2 , y = 0 , y = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
29Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/x , y = 0 , x = 1 , x = 4BHelp Výsledek
30Vypočtěte CHelp Výsledek
31Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = -x2 + 2xBHelp Výsledek
32Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2/3 , 2x - 3y + 3 = 0 BHelp Výsledek
33Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 2x , y = 4x - x2BHelp Výsledek
34Vypočtěte CHelp Výsledek
35Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 1 - x2BHelp Výsledek
36Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 3BHelp Výsledek
37Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (x + 1)2 , y = 1 - x , y = 0 , x<-1,1>BHelp Výsledek
38Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = e-x.sinx , y = 0 , x<0,p>AHelp Výsledek
39Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (2x}0,5 , x- y - 4 = 0 , y = 0BHelp Výsledek
40Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x + sin2x , x = 0 , x = p BHelp Výsledek
41Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 3x + 2 a jejími tečnami v bodech A[0,2] a B[2,0].AHelp Výsledek
42Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
43Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x2 + 3 , x = -1 , x = 1 , y = 0 kolem osy xBHelp Výsledek
44Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného hyperbolou x2 - y2 = 9 , osou x a průměrem hyperboly procházející bodem M[5,4]AHelp Výsledek
45Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = 4 , y = - 2 , y = 2 kolem osy yBHelp Výsledek
46Vypočtěte CHelp Výsledek
47Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 + x - 4 = 0 , x = 0 kolem osy yBHelp Výsledek
48Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
49Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
50Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami x2 - 4x - 2y + 6 = 0 , 2x - y - 3 = 0 BHelp Výsledek
51Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2x + 1 , x - y - 1 = 0 BHelp Výsledek
52Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = a (a>0)AHelp Výsledek
53Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = -2x2 + 8x - 3 , y = x2 - 4x + 6 BHelp Výsledek
54Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
55Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 2sinx - sin2x , y = 0 , x<0,p>BHelp Výsledek
56Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 6x , x = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
57Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2AHelp Výsledek
58Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2px , x<0,p> kolem osy xBHelp Výsledek
59Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y - a = (ax)1/2 , y = 2a (a>0) kolem osy xAHelp Výsledek
60Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami b2x2 + a2y2 = a2b2 kolem osy yBHelp Výsledek
61Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<-a,a> kolem osy yBHelp Výsledek
62Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 + (y - b)2 = a2 , 0<ab kolem osy xAHelp Výsledek
63Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<a,2a> kolem osy xBHelp Výsledek
64Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x - x2 , y = 0 kolem osy xAHelp Výsledek
65Vypočtěte BHelp Výsledek
66Vypočtěte BHelp Výsledek
67Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = cosx , y = -1 , x<-p,p> kolem přímky y = -1AHelp Výsledek
68Vypočtěte CHelp Výsledek
69Vypočtěte BHelp Výsledek
70Vypočtěte CHelp Výsledek
71Vypočtěte BHelp Výsledek
72Vypočtěte BHelp Výsledek
73Vypočtěte CHelp Výsledek
74Vypočtěte BHelp Výsledek
75Vypočtěte CHelp Výsledek
76Vypočtěte BHelp Výsledek
77Vypočtěte BHelp Výsledek
78Vypočtěte CHelp Výsledek
79Vypočtěte BHelp Výsledek
80Vypočtěte CHelp Výsledek
81Vypočtěte BHelp Výsledek
82Vypočtěte BHelp Výsledek
83Vypočtěte CHelp Výsledek
84Vypočtěte BHelp Výsledek
85Vypočtěte CHelp Výsledek
86Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 , y2 = xBHelp Výsledek
87Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = x2 - 4BHelp Výsledek
88Vypočtěte CHelp Výsledek
89Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sinx2 , y = 2x/pBHelp Výsledek
90Vypočtěte CHelp Výsledek
91Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 4x - x2 a osou xBHelp Výsledek
92Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 2x a osou xBHelp Výsledek
93Vypočtěte CHelp Výsledek
94Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = ex , y = 0 , x = -1 , x = 2BHelp Výsledek
95Vypočtěte CHelp Výsledek
96Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = cosx , y = 1 - 2x/pBHelp Výsledek
97Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sin2x , y = 0 , x = p/2 BHelp Výsledek
98Vypočtěte CHelp Výsledek
99Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = 3x - x2BHelp Výsledek
100Vypočtěte CHelp Výsledek
101Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/cos2x , y = 0 , x = 0 , x = p/4 BHelp Výsledek
102Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = cos2x , y = 0 , x = 0BHelp Výsledek
103Vypočtěte CHelp Výsledek
104Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = ex, y = e-x , y = eBHelp Výsledek
105Vypočtěte CHelp Výsledek
106Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
107Vypočtěte CHelp Výsledek
108Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = tgx , y = 0 , x = 0 , x = p/4BHelp Výsledek
109Vypočtěte CHelp Výsledek
110Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
111Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací jednoho oblouku sinusoidy kolem osy xBHelp Výsledek
112Vypočtěte CHelp Výsledek
113Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sin2x , y = 0 , x<0,2p>BHelp Výsledek
114Vypočtěte CHelp Výsledek
115Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = 2 , x = eBHelp Výsledek
116Vypočtěte CHelp Výsledek
117Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
118Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného grafem funkce y - cosx , osou x a přímkami x = 0 , x = 2pBHelp Výsledek
119Vypočtěte CHelp Výsledek
120Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolami y = x2 - 4x + 5 , y = -x2 + 4x - 1BHelp Výsledek
121Vypočtěte CHelp Výsledek
122Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x4 - 2x3 + 1 , y - 1 = 0BHelp Výsledek
123Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 + 2 , přímkou x + y - 8 = 0 a osami x, yBHelp Výsledek
124Vypočtěte CHelp Výsledek
125Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = sinx + 2 v intervalu <0,p>BHelp Výsledek
126Vypočtěte objem rotačního paraboloidu o polom2ru podstavy r = 3 a výšce v = 6 .BHelp Výsledek
127Vypočtěte CHelp Výsledek
128Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = - x , y = x - 2 , y = 0 , y = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
129Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/x , y = 0 , x = 1 , x = 4BHelp Výsledek
130Vypočtěte CHelp Výsledek
131Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = -x2 + 2xBHelp Výsledek
132Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2/3 , 2x - 3y + 3 = 0 BHelp Výsledek
133Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 2x , y = 4x - x2BHelp Výsledek
134Vypočtěte CHelp Výsledek
135Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 1 - x2BHelp Výsledek
136Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 3BHelp Výsledek
137Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (x + 1)2 , y = 1 - x , y = 0 , x<-1,1>BHelp Výsledek
138Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = e-x.sinx , y = 0 , x<0,p>AHelp Výsledek
139Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (2x}0,5 , x- y - 4 = 0 , y = 0BHelp Výsledek
140Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x + sin2x , x = 0 , x = p BHelp Výsledek
141Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 3x + 2 a jejími tečnami v bodech A[0,2] a B[2,0].AHelp Výsledek
142Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
143Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x2 + 3 , x = -1 , x = 1 , y = 0 kolem osy xBHelp Výsledek
144Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného hyperbolou x2 - y2 = 9 , osou x a průměrem hyperboly procházející bodem M[5,4]AHelp Výsledek
145Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = 4 , y = - 2 , y = 2 kolem osy yBHelp Výsledek
146Vypočtěte CHelp Výsledek
147Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 + x - 4 = 0 , x = 0 kolem osy yBHelp Výsledek
148Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
149Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
150Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami x2 - 4x - 2y + 6 = 0 , 2x - y - 3 = 0 BHelp Výsledek
151Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2x + 1 , x - y - 1 = 0 BHelp Výsledek
152Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = a (a>0)AHelp Výsledek
153Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = -2x2 + 8x - 3 , y = x2 - 4x + 6 BHelp Výsledek
154Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
155Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 2sinx - sin2x , y = 0 , x<0,p>BHelp Výsledek
156Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 6x , x = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
157Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2AHelp Výsledek
158Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2px , x<0,p> kolem osy xBHelp Výsledek
159Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y - a = (ax)1/2 , y = 2a (a>0) kolem osy xAHelp Výsledek
160Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami b2x2 + a2y2 = a2b2 kolem osy yBHelp Výsledek
161Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<-a,a> kolem osy yBHelp Výsledek
162Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 + (y - b)2 = a2 , 0<ab kolem osy xAHelp Výsledek
163Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<a,2a> kolem osy xBHelp Výsledek
164Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x - x2 , y = 0 kolem osy xAHelp Výsledek
165Vypočtěte BHelp Výsledek
166Vypočtěte BHelp Výsledek
167Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = cosx , y = -1 , x<-p,p> kolem přímky y = -1AHelp Výsledek
168Vypočtěte CHelp Výsledek
169Vypočtěte BHelp Výsledek
170Vypočtěte CHelp Výsledek
171Vypočtěte BHelp Výsledek
172Vypočtěte BHelp Výsledek
173Vypočtěte CHelp Výsledek
174Vypočtěte BHelp Výsledek
175Vypočtěte CHelp Výsledek
176Vypočtěte BHelp Výsledek
177Vypočtěte BHelp Výsledek
178Vypočtěte CHelp Výsledek
179Vypočtěte BHelp Výsledek
180Vypočtěte CHelp Výsledek
181Vypočtěte BHelp Výsledek
182Vypočtěte BHelp Výsledek
183Vypočtěte CHelp Výsledek
184Vypočtěte BHelp Výsledek
185Vypočtěte CHelp Výsledek
186Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 , y2 = xBHelp Výsledek
187Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = x2 - 4BHelp Výsledek
188Vypočtěte CHelp Výsledek
189Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sinx2 , y = 2x/pBHelp Výsledek
190Vypočtěte CHelp Výsledek
191Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 4x - x2 a osou xBHelp Výsledek
192Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 2x a osou xBHelp Výsledek
193Vypočtěte CHelp Výsledek
194Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = ex , y = 0 , x = -1 , x = 2BHelp Výsledek
195Vypočtěte CHelp Výsledek
196Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = cosx , y = 1 - 2x/pBHelp Výsledek
197Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sin2x , y = 0 , x = p/2 BHelp Výsledek
198Vypočtěte CHelp Výsledek
199Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = 3x - x2BHelp Výsledek
200Vypočtěte CHelp Výsledek
201Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/cos2x , y = 0 , x = 0 , x = p/4 BHelp Výsledek
202Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = cos2x , y = 0 , x = 0BHelp Výsledek
203Vypočtěte CHelp Výsledek
204Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = ex, y = e-x , y = eBHelp Výsledek
205Vypočtěte CHelp Výsledek
206Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
207Vypočtěte CHelp Výsledek
208Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = tgx , y = 0 , x = 0 , x = p/4BHelp Výsledek
209Vypočtěte CHelp Výsledek
210Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
211Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací jednoho oblouku sinusoidy kolem osy xBHelp Výsledek
212Vypočtěte CHelp Výsledek
213Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sin2x , y = 0 , x<0,2p>BHelp Výsledek
214Vypočtěte CHelp Výsledek
215Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = 2 , x = eBHelp Výsledek
216Vypočtěte CHelp Výsledek
217Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
218Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného grafem funkce y - cosx , osou x a přímkami x = 0 , x = 2pBHelp Výsledek
219Vypočtěte CHelp Výsledek
220Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolami y = x2 - 4x + 5 , y = -x2 + 4x - 1BHelp Výsledek
221Vypočtěte CHelp Výsledek
222Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x4 - 2x3 + 1 , y - 1 = 0BHelp Výsledek
223Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 + 2 , přímkou x + y - 8 = 0 a osami x, yBHelp Výsledek
224Vypočtěte CHelp Výsledek
225Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = sinx + 2 v intervalu <0,p>BHelp Výsledek
226Vypočtěte objem rotačního paraboloidu o polom2ru podstavy r = 3 a výšce v = 6 .BHelp Výsledek
227Vypočtěte CHelp Výsledek
228Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = - x , y = x - 2 , y = 0 , y = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
229Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 1/x , y = 0 , x = 1 , x = 4BHelp Výsledek
230Vypočtěte CHelp Výsledek
231Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného osou x a křivkou y = -x2 + 2xBHelp Výsledek
232Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2/3 , 2x - 3y + 3 = 0 BHelp Výsledek
233Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 2x , y = 4x - x2BHelp Výsledek
234Vypočtěte CHelp Výsledek
235Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 1 - x2BHelp Výsledek
236Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x2 - 1 , y = 3BHelp Výsledek
237Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (x + 1)2 , y = 1 - x , y = 0 , x<-1,1>BHelp Výsledek
238Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = e-x.sinx , y = 0 , x<0,p>AHelp Výsledek
239Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = (2x}0,5 , x- y - 4 = 0 , y = 0BHelp Výsledek
240Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = x + sin2x , x = 0 , x = p BHelp Výsledek
241Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x2 - 3x + 2 a jejími tečnami v bodech A[0,2] a B[2,0].AHelp Výsledek
242Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2 kolem osy xBHelp Výsledek
243Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = x2 + 3 , x = -1 , x = 1 , y = 0 kolem osy xBHelp Výsledek
244Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného hyperbolou x2 - y2 = 9 , osou x a průměrem hyperboly procházející bodem M[5,4]AHelp Výsledek
245Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = 4 , y = - 2 , y = 2 kolem osy yBHelp Výsledek
246Vypočtěte CHelp Výsledek
247Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 + x - 4 = 0 , x = 0 kolem osy yBHelp Výsledek
248Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 1 - x2 , y = x2 kolem osy xBHelp Výsledek
249Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
250Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami x2 - 4x - 2y + 6 = 0 , 2x - y - 3 = 0 BHelp Výsledek
251Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2x + 1 , x - y - 1 = 0 BHelp Výsledek
252Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = lnx , y = 0 , x = a (a>0)AHelp Výsledek
253Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = -2x2 + 8x - 3 , y = x2 - 4x + 6 BHelp Výsledek
254Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , x2 - 8x - 9y + 16 = 0 , y = 0 , x = 3AHelp Výsledek
255Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 2sinx - sin2x , y = 0 , x<0,p>BHelp Výsledek
256Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 6x , x = 3 kolem osy xBHelp Výsledek
257Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x , y = 1/x , y = 0 , x = 2AHelp Výsledek
258Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y2 = 2px , x<0,p> kolem osy xBHelp Výsledek
259Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y - a = (ax)1/2 , y = 2a (a>0) kolem osy xAHelp Výsledek
260Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami b2x2 + a2y2 = a2b2 kolem osy yBHelp Výsledek
261Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<-a,a> kolem osy yBHelp Výsledek
262Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 + (y - b)2 = a2 , 0<ab kolem osy xAHelp Výsledek
263Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami x2 - y2 = a2 , x<a,2a> kolem osy xBHelp Výsledek
264Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x - x2 , y = 0 kolem osy xAHelp Výsledek
265Vypočtěte BHelp Výsledek
266Vypočtěte BHelp Výsledek
267Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami y = cosx , y = -1 , x<-p,p> kolem přímky y = -1AHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E.Náhodný test

Otestujte si znalost učiva této lekce na náhodně vybraných příkladech!


F. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!